【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(diǎn)(0<AD<AB).過點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CF,連接AF,EF.設(shè)∠BCE的度數(shù)為α.
(1)①依題意補(bǔ)全圖形.
②若α=60°,則∠CAF=_____°;=_____;
(2)用含α的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)①補(bǔ)圖見解析;②30,;(2)EF=ABcosα;證明見解析.
【解析】
(1)①利用旋轉(zhuǎn)直接畫出圖形,
②先求出∠CBE=30°,再判斷出△ACF≌△BCE,得出∠CAF=30°,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△ACF≌△BCE,得出∠CAF=α,再同(1)②的方法即可得出結(jié)論.
(1)①將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CF,連接AF,EF,如圖1;
②∵BE⊥CD,∠CEB=90°,
∵α=60°,
∴∠CBE=30°,
在Rt△ABC中,AC=BC,
∴AC=AB,
∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB=α.
在△ACF和△BCE中,
AC=BC,∠FCA=∠ECB,FC=EC,
∴△ACF≌△BCE(SAS),
∴∠AFC=∠BEC=90°,∠CAF=∠CBE=30°,
∴CF=AC,
由旋轉(zhuǎn)知,CF=CE,∠ECF=90°,
∴EF=CF=AC=×AB=AB,
∴=,
故答案為30,;
(2)EF=ABcosα.
證明:∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB=α.
同(1)②的方法知,△ACF≌△BCE,
∴∠AFC=∠BEC=90°,
∴在Rt△AFC中,cos∠FCA=.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵∠ECF=90°,CE=CF,
∴∠CFE=∠CEF=45°.
在△FCE和△ACB中,
∠FCE=∠ACB=90°,
∠CFE=∠CAB=45°,
∴△FCE∽△ACB,
∴=cos∠FCA=cosα,
即EF=ABcosα.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)A,D在x軸的正半軸上,點(diǎn)F在BA上,點(diǎn)B、E均在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,6),則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為( )
A.1B.2C.4D.6
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【題目】如圖,P是拋物線y=﹣x2+x+2在第一象限上的點(diǎn),過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線,垂足分別為A,B,則四邊形OAPB周長(zhǎng)的最大值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角系中,點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B在y軸正半軸上,∠ABO=30°,AB=2,以AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC,反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D,邊AC與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,則CD的長(zhǎng)為_______.
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【題目】如圖,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍.
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【題目】己知是等邊三角形,于點(diǎn),點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接、、;
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),猜想和的數(shù)量關(guān)系;(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論,若不成立,請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)是等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出的度數(shù).
圖1圖2備用圖
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【題目】如圖,已知是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)
(1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x取值范圍.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,點(diǎn)E是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接CE,過點(diǎn)B,C分別作BD∥CE,CD∥BE,BD與CD相交于點(diǎn)D.
(1)當(dāng)CE⊥AB時(shí),求證:四邊形BECD是矩形;
(2)填空:
①當(dāng)BE的長(zhǎng)為______時(shí),四邊形BECD是菱形;
②在①的結(jié)論下,若點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,EP,則AP+EP的最小值為______.
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