【題目】已知,如圖,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求四邊形ABCD面積的最大值;
(3)若點(diǎn)E在軸上,點(diǎn)P在拋物線上.是否存在以A,C,E,P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式
(2)四邊形ABCD面積有最大值為;
(3)存在3個(gè)點(diǎn)符合題意,坐標(biāo)分別是P1(-2,-3), ,
【解析】試題分析:(1)、根據(jù)題意得出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo),然后代入函數(shù)解析式求出答案;(2)、首先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)得出直線AC的解析式,然后過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M,N,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m-3),從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo),求出DM的長度,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出DM的最大值,得出面積的最大值;(3)、①、過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1,,將C(0,-3)代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo);②、平移直線AC交x軸于點(diǎn)E,交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)AC=PE時(shí),四邊形ACEP為平行四邊形,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,3),然后代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)、∵OC=3OB,B(1,0),∴C(0,-3). 把點(diǎn)B,C的坐標(biāo)代入,得
∴拋物線的解析式
(2)、由A(-3,0),C(0,-3)得直線AC的解析式為,
如圖,過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M,N.
設(shè)M則D,
∴-1<0,∴當(dāng)x=時(shí),DM有最大值∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD
此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值為.
(3)、存在
①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1,
此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形. ∵C(0,-3),令
∴, .∴P1(-2,-3).
②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E,交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)AC=PE時(shí),四邊形ACEP為平行四邊形,∵C(0,-3),
∴可令P(x,3), ,得解得,
此時(shí)存在點(diǎn),
綜上所述,存在3個(gè)點(diǎn)符合題意,坐標(biāo)分別是P1(-2,-3),
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()在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形,使三角形三邊長分別為,,.
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