Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜邊上AB上任一點，AE⊥CD于E ， BF⊥CD交CD的延長線于F ， CH⊥AB于H點，交AE于G ．

（1）試說明AH＝BH
（2）求證：BD＝CG ．
（3）探索AE與EF、BF之間的數(shù)量關系

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH
（2）解：∵ABC為等腰直角三角形，且CH⊥AB

∴∠ACG＝45°

∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°

∴∠CAG＝∠BCF

在△ACG和△CBD中

∴△ACG≌△CBD（ASA）

∴BD＝CG

（3）解：AE=EF＋BF

理由如下：

在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF， ∴AE=CF，CE=BF， ∴AE=CF=CE+EF=BF+EF

【解析】第1小題，根據(jù)等腰三角形三線合一可求解；第2小題，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余可找出條件證明△ACG≌△CBD；第3小題，由前面的條件可證△ACE≌△CBF，得到AE=CF，CE=BF，從而得到AE=CF=CE+EF=BF+EF。