Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AD，BC上的點，AE=CF，對角線AC平分∠ECF．

（1）求證：四邊形AECF為菱形．

（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S菱形AECF= 20．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：OA=OC，EF⊥AC，即可證得AF=CF，又由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，可得OE=OF，繼而可證得四邊形AECF是菱形；
（2）首先設(shè)CE=x，則AE=x，be=8-x，然后由勾股定理求得（8-x）2+42=x2，繼而求得答案．

試題解析：

（1）證明：由矩形可得：OA=OC，EF⊥AC，

∴AF=CF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AF=CF，

∴四邊形AECF是菱形；

（2）設(shè)CE=x，則AE=x，be=8﹣x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴BE2+AB2=AE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，即EC=5，

∴S菱形AECF=ECAB=5×4=20．