Question

【題目】已知：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°

（1）如圖①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，則AC的長為 ；

（2）如圖②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的長；

（3）如圖③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接寫出AC的長．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）AC＝2；（3）AC＝（a+b）．

【解析】

（1）延長CD至M，使DM＝BC，連接AM，證明△ABC≌△ADM，可得△ACM為等邊三角形，等量代換可得AC＝CM＝CD+DM＝CD+BC＝4；

（2）延長CD至N，使DN＝BC，連接AN，證明△ABC≌△ADN，△ACN為等腰直角三角形，可得AC＝（CD+BC）＝2；

（3）延長CD至H，使DH＝BC，連接AH，作AE⊥CD于E，由（2）可知，AC＝AH，

CE＝（a+b），在Rt△ACE中可求出AC＝（a+b）.

解：（1）延長CD至M，使DM＝BC，連接AM，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADM+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADM，

在△ABC和△ADM中，

，

∴△ABC≌△ADM（SAS）

∴AM＝AC，

∵∠ACD＝60°，AM＝AC，

∴△ACM為等邊三角形，

∴AC＝CM＝CD+DM＝CD+BC＝4，

故答案為：4；

（2）延長CD至N，使DN＝BC，連接AN，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADN，

由（1）得，△ABC≌△ADN，

∴AN＝AC，

∵∠ACD＝45°，AN＝AC，

∴△ACN為等腰直角三角形，

∴AC＝（CD+BC）＝2；

（3）延長CD至H，使DH＝BC，連接AH，作AE⊥CD于E，

由（2）可知，AC＝AH，

∴CE＝（a+b），

在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACD＝30°，

∴CE＝AC，

∴AC＝（a+b）×＝（a+b）．