Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（t＞0）秒，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF是等邊三角形？說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？（請(qǐng)直接寫出t的值）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)t為時(shí)，△DEF是等邊三角形；見解析；（3）當(dāng)t為或4時(shí)，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）在Rt△CDF中，利用30度角的對(duì)邊等于斜邊的一半，即可得出DF的長，此題得解；
（2）易知當(dāng)△DEF是等邊三角形時(shí)，△EDA是等邊三角形，由∠A=60°可得出AD=AE，進(jìn)而可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）易知當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，△EDA是直角三角形，分∠AED=90°和∠ADE=90°兩種情況考慮，利用30度角的對(duì)邊等于斜邊的一半，可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AE∥DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴當(dāng)△DEF是等邊三角形時(shí)，△EDA是等邊三角形．

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE．

∵AE=t，AD=AC-CD=10-2t，

∴t=10-2t，

∴t=，

∴當(dāng)t為時(shí)，△DEF是等邊三角形．

（3）∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，△EDA是直角三角形．

當(dāng)∠AED=90°時(shí)，AD=2AE，即10-2t=2t，

解得：t=；

當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，AE=2AD，即t=2（10-2t），

解得：t=4．

綜上所述：當(dāng)t為或4時(shí)，△DEF為直角三角形．