【題目】已知在矩形ABCD中,∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)(其中EP<PD)
(1)如圖1,若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合),將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點(diǎn)H、G.
①求證:PG=PF; ②探究:DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)拓展:如圖2,若點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上(不與D重合),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥PF,交射線DA于點(diǎn)G,你認(rèn)為(1)中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】(1)①若證PG=PF,可證△HPG≌△DPF,已知∠DPH=∠HPG,由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形,即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH,即可得證;
②由△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF知HD=DP,HG=DF,根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H,先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD,HD=DP,再證△HPG≌△DPF可得HG=DF,根據(jù)DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP.
解:(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°,∠ADC=90°,
∴∠GPH=∠FPD,
∵DE平分∠ADC,
∴∠PDF=∠ADP=45°,
∴△HPD為等腰直角三角形,
∴∠DHP=∠PDF=45°,
在△HPG和△DPF中,
∵∠PHG=∠PDF,PH=PD,∠GPH=∠FPD,
∴△HPG≌△DPF(ASA),
∴PG=PF;
②結(jié)論:DG+DF=DP,
由①知,△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF,
∴HD=DP,HG=DF,
∴HD=HG+DG=DF+DG,
∴DG+DF=DP;
(2)不成立,數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為:DG﹣DF=DP,
如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H,
∵PF⊥PG,
∴∠GPF=∠HPD=90°,
∴∠GPH=∠FPD,
∵DE平分∠ADC,且在矩形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠HDP=∠EDC=45°,得到△HPD為等腰直角三角形,
∴∠DHP=∠EDC=45°,且PH=PD,HD=DP,
∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°,
在△HPG和△DPF中,
∵∠GPH=∠FPD,∠GHP=∠FDP,PH=PD,
∴△HPG≌△DPF,
∴HG=DF,
∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF,
∴DG﹣DF=DP.
“點(diǎn)睛”本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)將待求證線段關(guān)系轉(zhuǎn)移至其他兩線段間關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世界上最輕的昆蟲是一種寄生蜂,該寄生蜂的卵每個(gè)重量?jī)H有2×10-4毫克,將2×10-4用小數(shù)表示為( )
A.20000
B.0.00002
C.0.0002
D.0.2000
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【題目】點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2,-1),那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(-2,1)B.(1,-2)C.(-1,-2)D.(2,1)
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【題目】如圖,在中, .點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接、.
(1)求證: ;
(2)四邊形能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的值;
如果不能,說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)為何值時(shí), 為直角三角形?直接寫出t值.
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【題目】已知一個(gè)坡的坡比為i,坡角為α,則下列等式成立的是( )
A.i=sinα
B.i=cosα
C.i=tanα
D.i=cotα
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【題目】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=4,則f(1)f(5)(填“>”或“<”)
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【題目】下列事件中,最適合采用普查的是( )
A.了解一批燈泡的使用壽命B.了解中央電視臺(tái)《最強(qiáng)大腦》欄目的收視率
C.了解全國(guó)中學(xué)生體重情況D.了解某班學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的知曉率
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)E、F.求證:四邊形CEDF是正方形.
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1, 4)和(4, 4),拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng),與x軸交于C、D兩點(diǎn)(C在D的左側(cè)),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為,則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為_______。
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