Question

【題目】已知，如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，cos∠B＝，點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB邊上一點(diǎn)，連接EF，過(guò)點(diǎn)B作EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，

（1）在圖（1）中，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)B′（不寫作法，保留痕跡）；

（2）當(dāng)△EFB′為等腰三角形時(shí)，求折痕EF的長(zhǎng)度．

（3）當(dāng)B′落在AD邊的中垂線上時(shí)，求BF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）尺規(guī)作圖見(jiàn)解析；（2）EF=5或或；（3）.

【解析】

試題（1）分別以F、E為圓心，FB、EB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，B即為所求；

（2）分情況①當(dāng)BE=EF時(shí)，②BE=BF時(shí)，③EF=BF時(shí)討論即可；

（3）連接BB，F(xiàn)E，可知BB⊥FE，依據(jù)翻折及勾股定理即可解得.

試題解析：（1）尺規(guī)作圖：

（2）由翻折知：△FBE≌△FBE，

∴BE=BE，BF=BF，

∵點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn)，

∴BE=BE=5，

① 當(dāng)BE=EF時(shí)，EF=5，

②當(dāng)BE=BF時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G，

在Rt△FBG中，BE=BF=5，cos∠B=,

∴BG=，GE=BE-BG=，

FG=，

在Rt△FEG中，FE=；

③當(dāng)EF=BF時(shí)，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，BH=BE=，

在Rt△FBH中， cos∠B=，

∴BF=BH×=，

∴EF=，

綜上：EF=5或或.

（3）

如圖：連接BB，F(xiàn)E，交點(diǎn) 為H，

則BB⊥FE，

∵AN=DN=BE=CE=5，

∴EM=3，BE=BE=5，

∴BM=4，MN=，

BH=，

∴BF=BF=.