【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經過點A(3,1),點C(0,4),頂點為點M,過點A作AB∥x軸,交y軸于點D,交該二次函數(shù)圖象于點B,連結BC.
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標;
(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m>0)個單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內部(不包括△ABC的邊界),求m的取值范圍;
(3)點P是直線AC上的動點,若點P,點C,點M所構成的三角形與△BCD相似,請直接寫出所有點P的坐標(直接寫出結果,不必寫解答過程).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+4;M(1,5);(2)2<m<4;(3)P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).
【解析】
試題分析:(1)將點A、點C的坐標代入函數(shù)解析式,即可求出b、c的值,通過配方法得到點M的坐標;(2)點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的,可先求出直線AC的解析式,將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值,即可得到m的取值范圍;(3)由題意分析可得∠MCP=90°,則若△PCM與△BCD相似,則要進行分類討論,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種,然后利用邊的對應比值求出點坐標.
試題解析:(1)把點A(3,1),點C(0,4)代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得,
解得 ∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4, 配方得y=﹣(x﹣1)2+5,
∴點M的坐標為(1,5);
(2)設直線AC解析式為y=kx+b,把點A(3,1),C(0,4)代入得, 解得:
∴直線AC的解析式為y=﹣x+4,如圖所示,對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F
把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3,則點E坐標為(1,3),點F坐標為(1,1)
∴1<5﹣m<3,解得2<m<4;
(3)連接MC,作MG⊥y軸并延長交AC于點N,則點G坐標為(0,5) ∵MG=1,GC=5﹣4=1
∴MC==, 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,則點N坐標為(﹣1,5),
∵NG=GC,GM=GC, ∴∠NCG=∠GCM=45°, ∴∠NCM=90°,
由此可知,若點P在AC上,則∠MCP=90°,則點D與點C必為相似三角形對應點
①若有△PCM∽△BDC,則有
∵BD=1,CD=3, ∴CP===, ∵CD=DA=3, ∴∠DCA=45°,
若點P在y軸右側,作PH⊥y軸, ∵∠PCH=45°,CP= ∴PH==
把x=代入y=﹣x+4,解得y=, ∴P1();
同理可得,若點P在y軸左側,則把x=﹣代入y=﹣x+4,解得y= ∴P2();
②若有△PCM∽△CDB,則有 ∴CP==3 ∴PH=3÷=3,
若點P在y軸右側,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;
若點P在y軸左側,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7
∴P3(3,1);P4(﹣3,7).
∴所有符合題意得點P坐標有4個,分別為P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】今年5月,某大型商業(yè)集團隨機抽取所屬的m家商業(yè)連鎖店進行評估,將各連鎖店按照評估成績分成了A、B、C、D四個等級,繪制了如圖尚不完整的統(tǒng)計圖表.
評估成績n(分) | 評定等級 | 頻數(shù) |
90≤n≤100 | A | 2 |
80≤n<90 | B | |
70≤n<80 | C | 15 |
n<70 | D | 6 |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)求m的值;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求B等級所在扇形的圓心角的大小;(結果用度、分、秒表示)
(3)從評估成績不少于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經驗,求其中至少有一家是A等級的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法中正確的是( )
A. 三角形三條高所在的直線交于一點
B. 有且只有一條直線與已知直線平行
C. 垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直
D. 從直線外一點到這條直線的垂線段,叫做這點到這條直線的距離
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:若點P(a,b)在函數(shù)y=的圖象上,將以a為二次項系數(shù),b為一次項系數(shù)構造的二次函數(shù)y=ax2+bx稱為函數(shù)y=的一個“派生函數(shù)”.例如:點(2, )在函數(shù)y=的圖象上,則函數(shù)y=2x2+ 稱為函數(shù)y=的一個“派生函數(shù)”.現(xiàn)給出以下兩個命題:
(1)存在函數(shù)y=的一個“派生函數(shù)”,其圖象的對稱軸在y軸的右側
(2)函數(shù)y=的所有“派生函數(shù)”的圖象都經過同一點,下列判斷正確的是( )
A. 命題(1)與命題(2)都是真命題
B. 命題(1)與命題(2)都是假命題
C. 命題(1)是假命題,命題(2)是真命題
D. 命題(1)是真命題,命題(2)是假命題
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著某市養(yǎng)老機構(養(yǎng)老機構指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等)建設穩(wěn)步推進,擁有的養(yǎng)老床位不斷增加.
(1)該市的養(yǎng)老床位數(shù)從年底的萬個增長到年底的萬個,求該市這兩年(從年底到年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率;
(2)若該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心,其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共間,這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間(個養(yǎng)老床位),雙人間(個養(yǎng)老床位),三人間(個養(yǎng)老床位),因實際需要,單人間房間數(shù)在至之間(包括和),且雙人間的房間數(shù)是單人間的倍,設規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為.
①若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位個,求的值;
②求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個?最少提供養(yǎng)老床位多少個?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A(﹣2,0)、B兩點,與y軸交于C點,其對稱軸為直線x=1.
(1)直接寫出拋物線的解析式: ;
(2)把線段AC沿x軸向右平移,設平移后A、C的對應點分別為A′、C′,當C′落在拋物線上時,求A′、C′的坐標;
(3)除(2)中的點A′、C′外,在x軸和拋物線上是否還分別存在點E、F,使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求出E、F的坐標;若不存在,請說明理由.
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