【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.

(2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證).
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.

【答案】
(1)

解:四邊形ABCD是垂美四邊形.

證明:∵AB=AD,

∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,

∵CB=CD,

∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,

∴直線AC是線段BD的垂直平分線,

∴AC⊥BD,即四邊形ABCD是垂美四邊形


(2)垂美四邊形兩組對邊的平方和相等
(3)

解:連接CG、BE,

∵∠CAG=∠BAE=90°,

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,

在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAE,

∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,

∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,

∴四邊形CGEB是垂美四邊形,

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2

∵AC=4,AB=5,

∴BC=3,CG=4 ,BE=5 ,

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73,

∴GE=


【解析】解:(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.
如圖2,已知四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為E,
求證:AD2+BC2=AB2+CD2
證明:∵AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2 ,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2 ,
∴AD2+BC2=AB2+CD2

(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可;(2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可;(3)根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算.

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