【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=90°AD//BC,AD=16BC=21,CD=13

1)求直線ADBC之間的距離;

2)動點P從點B出發(fā),沿射線BC以每秒2個單位長度的速度運動,動點Q從點A出發(fā),在線段AD上以每秒1個單位長度的速度運動,點PQ同時出發(fā),當點Q運動到點D時,兩點同時停止運動,設運動時間為t秒.試求當t為何值時,以P、Q、D、C為頂點的四邊形為平行四邊形?

3)在(2)的條件下,是否存在點P,使PQD為等腰三角形?若存在,請直接寫出相應的t值,若不存在,請說明理由.

【答案】112;(25s;(3sss

【解析】

1ADBC之間的距離即AB的長,如下圖,過點DBC的垂線,交BC于點E,在RtDEC中可求得DE的長,即AB的長,即ADBC間的距離;

2)四邊形QDCP為平行四邊形,只需QD=CP即可;

3)存在3大類情況,情況一:QP=PD,情況二:PD=QD,情況三:QP=QD,而每大類中,點P存在2種情況,一種為點P還未到達點C,另一種為點P從點C處返回.

1)如下圖,過點DBC的垂線,交BC于點E

∵∠B=90°,ADBC

ABBC,ABAD

AB的長即為ADBC之間的距離

AD=16,BC=21,

EC=5

DC=13

∴在RtDEC中,DE=12

同理,DE的長也是ADBC之間的距離

ADBC之間的距離為12

2)∵ADBC

∴只需QD=PC,則四邊形QDCP是平行四邊形

QD=16t,PC=212tPC=2t21

16t=212t16t=2t21

解得:t=5st=

3)情況一:QP=PD

圖形如下,過點PAD的垂線,交AD于點F

PQ=PD,PFQD

QF=FD

AFBP,ABFP,∠B=90°

∴四邊形ABPF是矩形,

AF=BP

由題意得:AQ=t,則QD=16t,QF=8AF=8+

BP=2tBP=21(2t21)=422t

AF=BP

8+2t8+422t

解得:t=t=

情況二:PD=QD,圖形如下,過點PAD的垂線,交AD于點F

同理QD=16tPF=AB=12

BP=2t21(2t21)=422t

FD=ADAF=ADBP=162tFD=16(422t)=2t26

∴在RtPFD中,

PD=QD,

解得:2個方程都無解

情況三:QP=QD,圖形如下,過點PAD的垂線,交AD于點F

同理:QD=16t,FP=12

BP=2tBP=422t

QF=AFAQ=BPAQ=2tt=tQF=422tt=423t

RtQFP中,

PQ=QD,

第一個方程解得:t=,第二個方程解得:無解

綜上得:t=

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