【題目】如圖,拋物線yax2+bx2經(jīng)過點(diǎn)A4,0)、B1,0)兩點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn).

1)求此拋物線的解析式;

2Px軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過PPMx軸,垂足為M,問:是否存在點(diǎn)P,使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似?若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)D,過點(diǎn)Dx軸的垂線,交AC于點(diǎn)E,是否存在這樣的點(diǎn)D,使DE最長(zhǎng),若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),以及此時(shí)DE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1y=﹣x2+x2;(2)存在,P21);(3)存在,點(diǎn)D的坐標(biāo)(21),此時(shí)DE的長(zhǎng)為2

【解析】

1)用拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式確定c的值,進(jìn)而求解;

2tanOAC,以A、PM為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似,則tanPAM2,即可求解;

3)確定DE的函數(shù)表達(dá)式,即可求解.

1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:yaxx1)(xx2)=ax1)(x4)=ax25x+4)=ax2+bx2,

4a=﹣2,解得:a=﹣,

故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+2

2)存在,理由:

設(shè)點(diǎn)Px,﹣x2+2),則點(diǎn)Mx,0),

PM=﹣x2+2,AM4x

tanOAC,

∵以AP、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似,

tanPAM2,故2,

解得:x24(舍去)或5(舍去),

x2,

經(jīng)檢驗(yàn)x2是方程的解,

P2,1);

3)設(shè)直線AC的表達(dá)式為:ykx+t,則,解得

故直線AC的表達(dá)式為:yx2,

設(shè)點(diǎn)Dx,﹣x2+x2),則點(diǎn)Ex,x2),

DE=(﹣x2+x2)﹣(x2)=﹣x2+2x,

0,故DE有最大值,當(dāng)x2時(shí),DE的最大值為2,

此時(shí)點(diǎn)D2,1);

故點(diǎn)D的坐標(biāo)(2,1),此時(shí)DE的長(zhǎng)為2

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(1)當(dāng)E,F兩點(diǎn)的距離最大值時(shí),以點(diǎn)AB,C,D為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)是_____ cm.

(2)當(dāng)夾子的開口最大(點(diǎn)C與點(diǎn)D重合)時(shí),A,B兩點(diǎn)的距離為_____cm.

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組別

分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)(人)

頻率

1

50x60

30

0.1

2

60x70

45

0.15

3

70x80

60

n

4

80x90

m

0.4

5

90x100

45

0.15

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②若區(qū)域G內(nèi)恰有2個(gè)整點(diǎn),直接寫出k的取值范圍.

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