【題目】如圖,已知∠ABC=90°,D是直線AB上的點(diǎn),AD=BC.
(1)如圖1,過點(diǎn)A作AF⊥AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷△CDF的形狀并證明;
(2)如圖2,E是直線BC上一點(diǎn),且CE=BD,直線AE、CD相交于點(diǎn)P,∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.
【答案】(1)見解析;
(2)∠APD=∠FCD=45°.
【解析】
試題分析:(1)利用SAS證明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,即可判斷三角形的形狀;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,利用SAS證明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°.
試題解析:(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:
∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC,
在△FAD與△DBC中,,∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,∴∠BDC+∠FDA=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,如圖,∵AF⊥AD,∠ABC=90°,
∴∠FAD=∠DBC,在△FAD與△DBC中,,∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,∴∠BDC+∠FDA=90°,∴△CDF是等腰直角三角形,
∴∠FCD=45°,∵AF∥CE,且AF=CE,∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.
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B.20200000
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D.0.00000202
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