Question

【題目】如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線與x軸交于另一點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與直線交于點(diǎn)．

求這條拋物線的表達(dá)式；

在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C，滿足以B，O，C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

如圖2，若點(diǎn)M在這條拋物線上，且，

求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得∽？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）；（3）；存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或

【解析】

由直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式；

過C作軸，交x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)F，可設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用C點(diǎn)坐標(biāo)可表示出CD的長(zhǎng)，從而可表示出的面積，由條件可得到關(guān)于C點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）①設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N，則可證得≌，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線BN的解析式，聯(lián)立直線BM與拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)；

②過M作軸于點(diǎn)G，由B、C的坐標(biāo)可求得OB和OC的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)可求得的值，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，過P作軸于點(diǎn)H，由條件可證得∽，由的值，可求得PH和OH，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時(shí)，同理可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：在直線上，

，

，

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，

解得，

拋物線解析式為；

如圖1，過C作軸，交x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)F，

點(diǎn)C是拋物線上第四象限的點(diǎn)，

可設(shè)，則，，

，，，

，

的面積為2，

，解得，

；

（3）①設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N，如圖2，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

可設(shè)直線BN解析式為，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

直線BN的解析式為，

聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得，

解得或，

，

②，

，且，

，，

∽，

，，

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖3，過M作軸于點(diǎn)G，過P作軸于點(diǎn)H，

，

，且，

∽，

，

，

，，

，，

；

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖4，過M作軸于點(diǎn)G，過P作軸于點(diǎn)H，

同理可求得，，

；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或