Question

【題目】如圖，直角△ABC中，∠A為直角，AB=6，AC=8．點P，Q，R分別在AB，BC，CA邊上同時開始作勻速運動，2秒后三個點同時停止運動，點P由點A出發(fā)以每秒3個單位的速度向點B運動，點Q由點B出發(fā)以每秒5個單位的速度向點C運動，點R由點C出發(fā)以每秒4個單位的速度向點A運動，在運動過程中：

（1）求證：△APR，△BPQ，△CQR的面積相等；
（2）求△PQR面積的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示運動時間，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根據(jù)勾股定理得，BC=10，tan∠B= = = ，

過點Q作QE⊥AB于E，

在Rt△BQE中，BQ=5t，

∴sin∠B= = ，

∴QE=4t，

過點Q作QD⊥AC于D，

在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，

∴QD=CQsin∠C= （10﹣5t）=3（2﹣t），

由運動知，AP=3t，CR=4t，

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），

∴S△APR= APAR= ×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），

S△BPQ= BPQE= ×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），

S△CQR= CRQD= ×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），

∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，

∴△APR，△BPQ，△CQR的面積相等；

（2）解：由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），

∵AB=6，AC=8，

∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）

= ×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，

∵0≤t≤2，

∴當(dāng)t=1時，S△PQR最小=6；

（3）解：存在，由點P，Q，R的運動速度知，運動1秒時，點P，Q，R分別在AB，BC，AC的中點，此時，四邊形APQR是矩形，即：t=1秒時，∠PQR=90°，

由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），

過點Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，

∴四邊形APQD是矩形，

∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，

∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|

∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，

∴∠DQR=∠EQP，

∴tan∠DQR=tan∠EQP，

在Rt△DQR中，tan∠DQR= = ，

在Rt△EQP中，tan∠EQP= = ，

∴ ，

∴16t=9（2﹣t），

∴t= ．

即：t=1或 秒時，∠PQR=90°．

【解析】（1）由面積公式可知求三角形的面積，缺高時，須作垂線補(bǔ)出高，用t的代數(shù)式表示△APR，△BPQ，△CQR的面積，在由斜邊表示直角邊時選用正弦；（2）用△ABC面積減去第（1）問中表示的△APR的面積的3倍，構(gòu)建二次函數(shù)，在0≤t≤2范圍內(nèi)由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值;（3）由點P，Q，R的運動速度知，36=,510=,運動1秒時，點P，Q，R分別在AB，BC，AC的中點,可證得四邊形APQD是矩形，∠PQR=90°；若∠PQR=90，則∠DQR=∠EQP，用t的代數(shù)式表示兩個角的正切，建立方程，求出t.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的最值和銳角三角函數(shù)的定義，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)即可以解答此題．