Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）

（2）證明：連接AC，交BD于點O，

∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO．

【解析】（1）由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：△ABE≌△CDF；（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO．
【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．