Question

【題目】如圖，已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（1，﹣2）．

（1）求此函數的關系式；
（2）作點C關于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及△PEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=x2+bx+c的頂點為（1，﹣2）．

∴y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣2x﹣1

（2）

解：設直線PE對應的函數關系式為y=kx+b，根據A，B關于對稱軸對稱，

可以得出AC=CB，AD=BD，點C關于x軸的對稱點D，

故AC=BC=AD=BD，

則四邊形ACBD是菱形，

故直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M．

由P（0，﹣1），M（1，0），

得

從而得y=x﹣1，

設E（x，x﹣1）代入y=x2﹣2x﹣1得x﹣1=x2﹣2x﹣1，

解得x1=0，x2=3，

根據題意得點E（3，2）

（3）

解：假設存在這樣的點F，可設F（x，x2﹣2x﹣1），

過點F做FG⊥y軸，垂足為G點．

在Rt△POM和Rt△FGP中，

∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，

∠OMP=∠FPG，

又∠MOP=∠PGF，

∴△POM∽△FGP

∴

∵OM=1，OP=1，

∴GP=GF，即﹣1﹣（x2﹣2x﹣1）=x，

解得x1=0，x2=1，

根據題意得F（1，﹣2）

以上各步均可逆，故點F（1，﹣2）即為所求，

S△PEF=S△MFP+S△MFE= 2×1 ×2×2=3．

【解析】（1）將頂點坐標C（1，﹣2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函數的關系式；（2）先求出直線PM的解析式，然后與二次函數聯(lián)立即可解得點E的坐標；（3）根據三角形相似的性質先求出GP=GF，求出F點的坐標，進而求得△PEF的面積．