Question

如圖，正比例函數(shù)與二次函數(shù)y=-x²+2x+c的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（2，m）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)P的坐標(biāo)和對稱軸；
（3）若二次函數(shù)圖象的對稱軸與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B，與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)Q是x軸的正半軸上的一點(diǎn)，如果△OBC與△OAQ相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵正比例函數(shù)與二次函數(shù)y=-x²+2x+c的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（2，m）
∴
∴A（2，3），3=-4+4+c
∴c=3
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=-x²+2x+3

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴這個(gè)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），對稱軸是x=1；

（3）設(shè)Q（x，o）（x＞0）．當(dāng)x=1時(shí)，，
∴
當(dāng)△OBC∽△OAQ時(shí)，有，得OQ=2，Q（2，0）
當(dāng)△OBC∽△OQA，有，得
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是．
分析：（1）先求得m，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=-x²+2x+c，即可得出c，
（2）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法即可得出答案；
（3）設(shè)Q（x，o）（x＞0）．當(dāng)x=1時(shí)求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再由△OBC∽△OAQ和△OBC∽△OQA時(shí)，分別求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、以及對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，難度較大．