Question

隨著我市近幾年城市園林綠化建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y₁與投資成本x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資成本x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示．（注：利潤與投資成本的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果這位專業(yè)戶計劃以8萬元資金投入種植花卉和樹木，請求出他所獲得的總利潤Z與投入種植花卉的投資量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并回答他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式和頂點為原點的二次函數(shù)解析式，把P，Q分別代入兩個函數(shù)解析式可得相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）總利潤=種植花卉的利潤+種植樹木的利潤，用公式法可得二次函數(shù)的最值問題．

解答：解：（1）設(shè)y₁=kx，由圖①所示，函數(shù)y₁=kx的圖象過（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤y₁關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y₁=2x，
∵該拋物線的頂點是原點，
∴設(shè)y₂=ax²，
由圖②所示，函數(shù)y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，即a=

1

2

，
故利潤y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y₂=

1

2

x²；

（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8-x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，得z=2（8-x）+

1

2

x²=

1

2

x²-2x+16=

1

2

（x-2）²+14，
當x=2時，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴當x=8時，z的最大值是32．

點評：考查二次函數(shù)的應(yīng)用；求函數(shù)解析式通常用待定系數(shù)法；掌握函數(shù)的圖象的特點是解決本題的關(guān)鍵．