Question

【題目】如圖，已知拋物線（＞0）與軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)C。

（1）如圖1，若△ABC為直角三角形，求的值；

（2）如圖1，在（1）的條件下，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，若以BC為邊，以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，交軸交于點(diǎn)E，若AE:ED＝1:4，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；（3）.

【解析】

（1）利用三角形相似可求AOOB，再由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求AOOB構(gòu)造方程求n；

（2）求出B、C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，分類討論點(diǎn)P坐標(biāo)，分別代入拋物線解析式，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系表示OB，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而找到b與a關(guān)系，代入拋物線求a、n即可．

（1）若△ABC為直角三角形

∴△AOC∽△COB

∴OC2=AOOB

當(dāng)y=0時(shí)，0=x2-x-n

由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

-OAOB=OC2

n2=＝2n

解得n=0（舍去）或n=2

∴拋物線解析式為y=；

（2）由（1）當(dāng)=0時(shí)

解得x1=-1，x2=4

∴OA=1，OB=4

∴B（4，0），C（0，-2）

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-＝

∴設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，b）

由平行四邊形性質(zhì)可知

當(dāng)BQ、CP為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，b+2）

代入y=x2-x-2

解得b=，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

當(dāng)CQ、PB為為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，b-2）

代入y=x2-x-2

解得b=，則P坐標(biāo)為（-，）

綜上點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），（-，）；

（3）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，b）

∵AE：ED=1：4

則OE=b，OA=a

∵AD∥AB

∴△AEO∽△BCO

∵OC=n

∴

∴OB=

由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得，

∴b=a2

將點(diǎn)A（-a，0），D（a，a2）代入y=x2-x-n

解得a=6或a=0（舍去）

則n= .