Question

【題目】如圖，是的直徑，點是上一點，點是的中點，過點作的切線，與、的延長線分別交于點、，連接．

（1）求證：．

（2）填空：

①已知，當_________時，．

②連接、、．當的度數為_________時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）①8；②30°

【解析】

（1）連接OD，因EF是圓的切線，則OD⊥EF.再通過內錯角相等，證AF∥OD即可；

（2）①利用點C是AF的中點，證CB是AEF的中位線，從而求得BE的長；

（2）②利用菱形的性質，證ODB是正三角形，進而推導出∠E的大小.

（1）如下圖，鏈接OD

∵EF是O的切線

∴OD⊥EF

∵點D是的中點

∴∠CAD=∠DAB

∵OA=OD=r

∴∠DAB=∠ADO

∴∠CAD=∠ADO

∴AF∥OD

∴AF⊥EF

（2）①如下圖，連接CB

∵AB是O的直徑，∴∠ACB=90°

∵AF⊥EF，∴EF∥CB

∵點C是AF的中點，∴CB是△AFE的中位線

∴BE=AB=8

（2）②如下圖，連接CO、CD

∵四邊形OCDB是菱形，∴OB=DB

∵OD=OB，∴OD=OB=DB，∴△ODB是等邊三角形

∴∠DOB=60°

∵AF∥OD，∴∠FAE=60°

∴∠E=30°