【題目】(發(fā)現(xiàn))如圖,點(diǎn)EF分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,連接EF.因?yàn)?/span>AB=AD,所以把ΔABEA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔADG,可使ABAD重合.因?yàn)椤?/span>CDA=B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、D、G共線.

如果__________(填一個(gè)條件),可得ΔAEF≌ΔAGF.經(jīng)過(guò)進(jìn)一步研究我們可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)BEEF,FD滿足__________時(shí),∠EAF=45°.

(應(yīng)用)

如圖,在矩形ABCD中,AB=6AD=m,點(diǎn)E在邊BC上,且BE=2

1)若m=8,點(diǎn)F在邊DC上,且∠EAF=45°(如圖),求DF的長(zhǎng);

2)若點(diǎn)F在邊DC上,且∠EAF=45°,求m的取值范圍.

【答案】發(fā)現(xiàn):(或)(答案不唯一),;應(yīng)用:(1;(2

【解析】

[發(fā)現(xiàn)]由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論;

[應(yīng)用]1)作正方形ABNMMNAF相交于點(diǎn)G,連接EG.設(shè)MG=x,則NG=6-x,由[發(fā)現(xiàn)]可得:BE+MG=EG,即2+x=EG.在RtENG中,由勾股定理可得x的值,即MG的長(zhǎng),由相似三角形的性質(zhì)得到AMAD=MGDF,即可得出結(jié)論;

2)當(dāng)CE重合時(shí),如圖3,m=AD=BC=2最;

當(dāng)CF重合時(shí),如圖4,m=AD最大.類(lèi)似(1)可得m的值.

[發(fā)現(xiàn)]EAF=GAF(或EF=FG)如圖1所示:

AB=AD,∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使ABAD重合.

∵∠ADC=B=90°,∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線,∴∠DAG=BAE,AE=AG

若添加條件為:∠EAF=GAF

AE=AG,∠EAF=GAF,AF=AF,∴ΔAEFΔAGF

若添加條件為:EF=FG

AE=AGEF=FG,AF=AF,∴ΔAEFΔAGF

當(dāng)BE+FD=EF時(shí),∠EAF=45°.證明如下:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠EAG=90°,△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=DAG,BE=DG

BE+FD=EF,∴DG+FD=EF,∴FG=EF

AE=AG,AF=AF,∴ΔAEFΔAGF,∴∠EAF=FAG=45°.

[應(yīng)用]1)作正方形ABNM,MNAF相交于點(diǎn)G,連接EG.設(shè)MG=x,則NG=6-x

BE=2,∴EN=6-2=4.由[發(fā)現(xiàn)]可得:BE+MG=EG,∴2+x=EG.在RtENG中,∵EN2+NG2=EG2,∴ ,解得:x=3,∴MG=3

MNDC,∴△AMG∽△ADF,∴AMAD=MGDF,∴68=3DF,解得:DF=4

2)當(dāng)CE重合時(shí),如圖3,m=AD=BC=2最小;

當(dāng)CF重合時(shí),如圖4,m=AD最大.類(lèi)似(1)可得:MG=3

MNDC,∴△AMG∽△ADC,∴AMMG=ADDC,∴63=m6,解得:m=12

綜上所述:2m12

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. 2C. D.

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2)將圖①補(bǔ)充完整;

3)求圖②中C層次所在扇形的圓心角的度數(shù);

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A.B.C.D.

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(1)求該商品每件的的成本與售價(jià)分別是多少元?

(2)求出年利潤(rùn)與年推廣費(fèi)x的函數(shù)關(guān)系式;

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