Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．（備注：在直角三角形中30度角所對(duì)的邊是斜邊的一半）

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）、證明見(jiàn)解析；（2）、t=10；（3）、t=或12，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）、根據(jù)Rt△ABC的性質(zhì)得出AB=30cm，根據(jù)CD=4t，AE=2t以及Rt△CDF的性質(zhì)得出答案；

（2）、根據(jù)DF∥AB，DF=AE，得出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出t的值；

（3）、本題需要分兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，AD=2AE，從而求出t的值；當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，AE=2AD，從而求出t的值.

試題解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=AC=×60=30cm

∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t

∴DF=AE

（2）、能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形

當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10

∴當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形

（3）、若△DEF為直角三角形，有兩種情況：

①如圖1，∠EDF=90°，DE∥BC，

則AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。

②如圖2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

則AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。

綜上所述，當(dāng)t=或12時(shí)，△DEF為直角三角形