Question

如圖，已知平面直角坐標系xOy中，點A（m，6），B（n，1）為兩動點，其中0＜m＜3，連接OA，OB，OA⊥OB．
（1）求證：mn=-6；
（2）當S_△AOB=10時，拋物線經(jīng)過A，B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點F，過點F作直線l交拋物線于P，Q兩點，問是否存在直線l，使S_△POF：S_△QOF=1：3？若存在，求出直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點，
∵A，B點坐標分別為（m，6），（n，1），
∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6，
又OA⊥OB，
易證△CBO∽△DOA，
∴

CB

CO

=

DO

DA

，
∴

1

m

=

-n

6

∴mn=-6．

（2）由（1）得，∵△CBO∽△DOA，
∴

OB

OA

=

BC

OD

=

1

m

，即OA=mBO，
又∵S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即OB•OA=20，
∴mBO²=20，
又OB²=BC²+OC²=n²+1，
∴m（n²+1）=20，
∵mn=-6，
∴m=2，n=-3，
∴A坐標為（2，6），B坐標為（-3，1），易得拋物線解析式為y=-x²+10．

（3）直AB為y=x+4，且與y軸交于F（0，4）點，
∴OF=4，
假設(shè)存在直線l交拋物線于P，Q兩點，且使S_△POF：S_△QOF=1：3，如圖所示，
則有PF：FQ=1：3，作PM⊥y軸于M點，QN⊥y軸于N點，
∵P在拋物線y=-x²+10上，
∴設(shè)P坐標為（x，-x²+10），
則FM=OM-OF=（-x²+10）-4=-x²+6，
易證△PMF∽△QNF，
∴

PM

QN

=

MF

FN

=

PF

QF

=

1

3

，
∴QN=3PM=-3x，NF=3MF=-3x²+18，
∴ON=-3x²+14，
∴Q點坐標為（-3x，3x²-14），
∵Q點在拋物線y=-x²+10上，
∴3x²-14=-9x²+10，
解得：x=-

2

，
∴P坐標為(-

2

，8)，Q坐標為(3

2

，-8)，
∴易得直線PQ為y=2

2

x+4．
根據(jù)拋物線的對稱性可得直線PQ另解為y=-2

2

x+4．