Question

【題目】如圖,以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,OC所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.已知OA=3,OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),在OA上取一點(diǎn)D,將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．

（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P,且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小？如果存在,求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在,請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E(3，1),F(1，2);（2）；（3）存在，最小四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是5+．

【解析】分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標(biāo)就可以求出．（2）頂點(diǎn)為F的坐標(biāo)根據(jù)第一問可以求得是（1，2），因而拋物線的解析式可以設(shè)為y=a（x-1）2+2，以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，應(yīng)分EF是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論．

①當(dāng)EF是腰，EF=PF時(shí)，已知E、F點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出EF的長(zhǎng)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，n），根據(jù)勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐標(biāo)．當(dāng)EF是腰，EF=EP時(shí)，可以判斷E到y軸的最短距離與EF的大小關(guān)系，只有當(dāng)EF大于E到y軸的距離，P才存在．

②當(dāng)EF是底邊時(shí)，EP=FP，根據(jù)勾股定理就可以得到關(guān)于n的方程，就可以解得n的值．

（3）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．求出線段E′F′的長(zhǎng)度，就是四邊形MNFE的周長(zhǎng)的最小值．

本題解析：(1)E(3,1);F(1,2).

(2)在Rt△EBF中,∠B=90，∴EF=

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n)，其中n>0，∵頂點(diǎn)F(1,2)，

∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x1) +2(a≠0).

①如圖1，

當(dāng)EF=PF時(shí), ，

∴.

解得 (舍去); .

∴P(0,4).

∴4=a(01) +2.

解得a=2.

∴拋物線的解析式為y=2(x1) +2

②如圖2，

當(dāng)EP=FP時(shí),EP=FP，∴(2n) +1=(1n) +9.解得n= (舍去)

③當(dāng)EF=EP時(shí),EP=<3，這種情況不存在。

綜上所述,符合條件的拋物線解析式是y=2(x1) +2.

(3)存在點(diǎn)M,N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小。

如圖3,作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′,作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，

連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)。

∴E′(3,1),F′(1,2),NF=NF′,ME=ME′.∴BF′=4,BE′=3.

∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=.

又∵EF=，

∴FN+MN+ME+EF=5+,此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是5+.