【題目】 我們定義:如圖1、圖2、圖3,在△ABC中,把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB′,把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′,連接B′C′,當α+β=180°時,我們稱△AB'C′是△ABC的“旋補三角形”,△AB′C′邊B'C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.圖1、圖2、圖3中的△AB′C′均是△ABC的“旋補三角形”.
(1)①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系為:AD= BC;
②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則“旋補中線”AD長為 .
(2)在圖1中,當△ABC為任意三角形時,猜想“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
【答案】(1)①;②4;(2)AD=BC.
【解析】
(1)①首先證明△ADB'是含有30°的直角三角形,可得ADAB'即可解決問題;
②首先證明△BAC≌△B'AC',根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題;
(2)結(jié)論:ADBC.如圖1中,延長AD到M,使得AD=DM,連接B'M,C'M,首先證明四邊形AC'MB'是平行四邊形,再證明△BAC≌△AB'M,即可解決問題.
(1)①如圖2中,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=AB'=AC'.
∵DB'=DC',∴AD⊥B'C'.
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=120°,∴∠B'=∠C'=30°,∴ADAB'BC.
故答案為:.
②如圖3中,∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=∠BAC=90°.
∵AB=AB',AC=AC',∴△BAC≌△B'AC',∴BC=B'C'.
∵B'D=DC',∴ADB'C'BC=4.
故答案為:4.
(2)結(jié)論:ADBC.
理由:如圖1中,延長AD到M,使得AD=DM,連接B'M,C'M.
∵B'D=DC',AD=DM,∴四邊形AC'MB'是平行四邊形,∴AC'=B'M=AC.
∵∠BAC+∠B'AC'=180°,∠B'AC'+∠AB'M=180°,∴∠BAC=∠MB'A.
∵AB=AB',∴△BAC≌△AB'M,∴BC=AM,∴ADBC.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機,某商店決定購進A、B兩種藝術(shù)節(jié)紀念品.若購進A種紀念品8件,B種紀念品3件,需要950元;若購進A種紀念品5件,B種紀念品6件,需要800元.
(1)求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元?
(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件,考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn),用于購買這100件紀念品的資金不少于7500元,但不超過7650元,那么該商店共有幾種進貨方案?
(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元,每件B種紀念品可獲利潤30元,在第(2)問的各種進貨方案中,哪一種方案獲利最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為半圓O在直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點,CD切⊙O于點E,連接OD、OC,下列結(jié)論:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2 , ④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DECD,正確的有( )
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A(﹣1,﹣1),B(3,2),C(1,4)
(1)畫出△ABC向上平移2個單位,向左平移3個位置后的△A′B′C′;
(2)寫出A、C的對應點A′、C′的坐標;
(3)求兩次平移過程中線段AC掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為打造書香校園,購進了甲、乙兩種型號的新書柜來放置新買的圖書,甲型號書柜共花了15000元,乙型號書柜共花了18000元,乙型號書柜比甲型號書柜單價便宜了300元,購買乙型號書柜的數(shù)量是甲型號書柜數(shù)量的2倍.求甲、乙型號書柜各購進多少個?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,添加下列條件后仍不能使△ABD≌△CAE的條件是( 。
A. AD=AE B. AB=AC C. BD=AE D. AD=CE
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O為原點,線段AB的兩個端點A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD,某拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點D、點E(1,1).
(1)若該拋物線過原點O,則a=;
(2)若點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,要使得符合條件的Q點的個數(shù)是4個,則a的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,M 在 AC上,且AM=6cm,過點 A(與 BC 在 AC 同側(cè))作射線 AN⊥AC,若動點 P 從點 A 出發(fā),沿射線 AN 勻速運動,運動速度為 1cm/s,設點 P 運動時間為 t 秒.
(1)經(jīng)過 秒時,Rt△AMP 是等腰直角三角形?
(2)經(jīng)過幾秒時,PM⊥MB?
(3)經(jīng)過幾秒時,PM⊥AB?
(4)當△BMP 是等腰三角形時,直接寫出 t 的所有值.
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