Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，點P，Q分別在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點D落在線段PQ上．

（1）求證：PQ∥AB；

（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長；

（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）1≤x≤．

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)計算可知，結(jié)合定理兩邊成比例且夾角相等的三角形相似證明△PQC∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；

（2）連接AD，根據(jù)PQ∥AB和點D在∠BAC的平分線上可證∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分別表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP；·

（3）先求出當點E在AB上時x的值，再分兩種情況進行分類討論．

（1）證明：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，

∴AC＝＝＝12．

∵＝＝，＝＝，

∴＝．

∵∠C＝∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ＝∠B，

∴PQ∥AB；

（2）解：連接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ＝∠DAB．

∵點D在∠BAC的平分線上，

∴∠DAQ＝∠DAB，

∴∠ADQ＝∠DAQ，

∴AQ＝DQ．

∵PD＝PC＝3x，QC=4x

∴在Rt△CPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.

∴DQ＝2x．

∵AQ＝12﹣4x，

∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，

∴CP＝3x＝6．

（3）解：當點E在AB上時，

∵PQ∥AB，

∴∠DPE＝∠PGB．

∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B，

∴∠B＝∠PGB，

∴PB＝PG＝5x，

∴3x+5x＝9，解得x＝．

①當0＜x≤時，T＝PD+DE+PE＝3x+4x+5x＝12x，此時0＜T≤；

②當＜x＜3時，設(shè)PE交AB于點G，DE交AB于F，作GH⊥PQ，垂足為H，

∴HG＝DF，FG＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，

∴＝＝．

∵PG＝PB＝9﹣3x，

∴＝＝，

∴GH＝（9﹣3x），PH＝（9﹣3x），

∴FG＝DH＝3x﹣（9﹣3x），

∴T＝PG+PD+DF+FG＝（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]

＝x+，

此時，＜T＜18．

∴當0＜x＜3時，T隨x的增大而增大，

∴T＝12時，即12x＝12，解得x＝1；

T＝16時，即x+＝16，解得x＝．

∵12≤T≤16，

∴x的取值范圍是1≤x≤．