Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3，點(diǎn)P在該函數(shù)的圖象上，點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2 ． 設(shè)d=d1+d2 ， 下列結(jié)論中：
①d沒(méi)有最大值；
②d沒(méi)有最小值；
③﹣1＜x＜3時(shí)，d隨x的增大而增大；
④滿足d=5的點(diǎn)P有四個(gè)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3中y=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3．
（i）當(dāng)x≤﹣1時(shí)，d1=x2﹣2x﹣3，d2=﹣x，
d=d1+d2=x2﹣3x﹣3= ，
d≥1；
（ii）當(dāng)﹣1＜x≤0時(shí)，d1=﹣x2+2x+3，d2=﹣x，
d=﹣x2+x+3=﹣ ，
1＜x≤3；
（iii）當(dāng)0＜x≤3時(shí)，d1=﹣x2+2x+3，d2=x，
d=﹣x2+3x+3=﹣ + ，
3≤x≤ ；
（iv）當(dāng)3＜x時(shí)，d1=x2﹣2x﹣3，d2=x，
d=d1+d2=x2﹣x﹣3= ，
3＜d．
綜上可知：d有最小值，沒(méi)有最大值，即①成立，②不成了；
當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，d單調(diào)遞增， ＜x≤3時(shí)，d單調(diào)遞減，
∴﹣1＜x＜3時(shí)，d隨x的增大而增大，此結(jié)論不成了；
令d=5，（i）中存在一個(gè)解；（ii）中無(wú)解；（iii）中有兩個(gè)解；（iv）中一個(gè)解．
∴滿足d=5的點(diǎn)P有四個(gè)，該結(jié)論成立．
∴正確的結(jié)論有2個(gè)．
故選B．
找出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)P所在的象限分段考慮，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出其最值以及在各段區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，對(duì)比4個(gè)結(jié)論即可得知正確的結(jié)論有兩個(gè)．