【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,且OA、OB的長(zhǎng)滿(mǎn)足|OA﹣8|+(OB﹣6)2=0,∠ABO的平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)C過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng);
(2)求直線(xiàn)CE的解析式;
(3)若M是射線(xiàn)BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使以A、B、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)求線(xiàn)段AB=10;(2)求直線(xiàn)CE的解析式y=-x-4;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)(-4,8)、(3,2);
【解析】試題分析:
(1) 根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可以獲得線(xiàn)段OA和OB的長(zhǎng). 利用勾股定理可以得到線(xiàn)段AB的長(zhǎng).
(2) 要求直線(xiàn)CE的解析式,需要先求點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo). 利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以得到OB=DB,OC=DC. 利用已知的線(xiàn)段長(zhǎng)度和各線(xiàn)段之間的關(guān)系,在Rt△ADC中通過(guò)勾股定理可以獲得關(guān)于OC的方程,求解這一方程即可獲得點(diǎn)C的坐標(biāo). 利用對(duì)頂角的關(guān)系可以證明△ADC與△EOC全等,進(jìn)而可以利用線(xiàn)段AD的長(zhǎng)獲得點(diǎn)E的坐標(biāo). 利用點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)通過(guò)待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)CE的解析式.
(3) 根據(jù)題意可以在第一和第二象限內(nèi)各找到一個(gè)符合題意的點(diǎn)P. 因此,本小題應(yīng)該對(duì)這兩種情況分別進(jìn)行討論. 在求解位于第二象限內(nèi)的點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候,可以過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)PG. 利用△BOC和△AMC相似的關(guān)系獲得線(xiàn)段AM的長(zhǎng),利用矩形的性質(zhì)得到線(xiàn)段PB的長(zhǎng). 利用△PGB與△BOC相似的關(guān)系獲得線(xiàn)段PG和BG的長(zhǎng),進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo). 在求解位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候,可以過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)PH. 利用△ABM與△DBC相似的關(guān)系獲得線(xiàn)段AM的長(zhǎng),利用矩形的性質(zhì)得到線(xiàn)段PB的長(zhǎng). 利用△PHB與△BOA相似的關(guān)系獲得線(xiàn)段PH和BH的長(zhǎng),進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:
(1) ∵,
∴OA=8,OB=6.
∴在Rt△AOB中, .
(2) 設(shè)OC=m,則AC=OA-OC=8-m.
∵點(diǎn)C在∠ABO的平分線(xiàn)上,
∴.
∵OC⊥BE,CD⊥AB,
∴∠BOC=∠BDC=90°.
∵在△BOC和△BDC中,
,
∴△BOC≌△BDC (AAS).
∴OB=DB=6,OC=DC=m.
∴AD=AB-BD=10-6=4.
∵在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2,
∴(8-m)2=42+m2,
∴m=3.
∴OC=m=3.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3, 0).
∵在△ADC和△EOC中,
,
∴△ADC≌△EOC (ASA).
∴AD=EO=4.
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, -4).
設(shè)直線(xiàn)CE的解析式為y=kx+b (k≠0).
將點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)分別代入直線(xiàn)CE的解析式,得
,
解之,得
,
∴直線(xiàn)CE的解析式為.
(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, 8)或(3, 2). 求解過(guò)程如下.
根據(jù)題意,分別對(duì)下面兩種情況進(jìn)行討論.
①如圖①,四邊形AMBP為矩形.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB,垂足為G.
∵OC=3,OB=6,
∴在Rt△BOC中, .
∵∠BOC=∠AMC=90°,∠BCO=∠ACM,
∴△BOC∽△AMC,
∴.
∵AC=OA-OC=8-3=5,OB=6, ,
∴.
∴在矩形AMBP中, .
∵∠PBM=90°,
∴∠PBG+∠OBC=180°-∠PBM=180°-90°=90°.
∵在Rt△BOC中,∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠PBG=∠BCO.
∵∠PGB=∠BOC=90°,∠PBG=∠BCO,
∴△PGB∽△BOC,
∴.
∴, .
∴OG=OB+BG=6+2=8.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, 8).
②如圖②,四邊形AMBP為矩形.
如圖②,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB,垂足為H.
∵CD⊥AB,AM⊥AB,
∴CD∥AM,
∴△ABM∽△DBC,
∴.
∵CD=OC=3,BD=OB=6,AB=10,
∴.
∴在矩形AMBP中,BP=MA=5.
∵∠ABO+∠PBH=∠ABP=90°,
又∵在Rt△AOB中,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠PBH=∠BAO.
∵∠PHB=∠BOA=90°,∠PBH=∠BAO,
∴△PHB∽△BOA,
∴.
∴, .
∴OH=OB-BH=6-4=2.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 2).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, 8)或(3, 2).
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A.6
B.12
C.32
D.64
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(1)求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐;
(2)若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放,能否供全校的5300名學(xué)生就餐?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)在(1)中拋物線(xiàn)的第三象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn),且△ABQ為直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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(1)求證:DE是半圓⊙O的切線(xiàn).
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