Question

【題目】已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝20厘米，BC＝40厘米．點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別以2厘米/秒、4厘米/秒的速度由A→B→C→D→A的方向在矩形邊上運(yùn)動，只要Q點(diǎn)回到點(diǎn)A，運(yùn)動全部停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動在AB（含B點(diǎn)）上，點(diǎn)Q運(yùn)動在BC（含B、C點(diǎn)）上時(shí)，

①設(shè)PQ的長為y，求y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍？

②當(dāng)t為何值時(shí)，△DPQ是等腰三角形？

（2）在P、Q的整個(gè)運(yùn)動過程中，分別判斷下列兩種情形是否存在？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．

①PQ與BD平行；

②PQ與BD垂直．

Answer 1

【答案】（1）①y=（5≤t≤10）；②當(dāng)t＝時(shí)，△DPQ為等腰三角形；（2）①當(dāng)t＝18秒時(shí)，PQ與BD平行；②當(dāng)t＝6秒或t＝25時(shí)，PQ與BD垂直．

【解析】

（1）①根據(jù)勾股定理計(jì)算斜邊PQ的長，可得y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)辄c(diǎn)P運(yùn)動在AB（含B點(diǎn)）上，所以0≤t≤10，因?yàn)辄c(diǎn)Q運(yùn)動在BC（含B、C點(diǎn)）上，所以5≤t≤15，可得5≤t≤10；

②根據(jù)圖形可知，只有DP＝DQ，根據(jù)勾股定理列方程得：，則，解方程可得結(jié)論；

（2）①根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式得：，則，解方程可得結(jié)論；

②存在兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，如圖2，此時(shí)PA＝2t，BP＝20﹣2t，BQ＝4t﹣20，由PQ⊥BD易證△PBQ∽△DAB，列比例式可得結(jié)論；

當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在DA上，如圖3，此時(shí)BP＝2t﹣20，PC＝60﹣2t，DQ＝4t﹣80，作輔助線，易證△PMQ∽△DAB，列比例式可得結(jié)論．

解：（1）由題意可知：PA＝2t，BP＝20﹣2t，BQ＝4t﹣20

①在Rt△PBQ中，＝＝ （5≤t≤10）；

②由題意可知PQ的長明顯小于DP與DQ的長，因此要使△DPQ為等腰三角形，只需滿足DP＝DQ，

∴，

∴，

∴解得t＝（舍），t＝，

∴當(dāng)t＝時(shí)，△DPQ為等腰三角形；

（2）①由題意知PQ與BD平行，只能點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在DC上，如圖1，此時(shí)BP＝2t﹣20，DQ＝80﹣4t，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴解得t＝18，

∴當(dāng)t＝18秒時(shí)，PQ與BD平行；

②由題意知PQ與BD垂直，有兩種可能，

當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，如圖2，此時(shí)PA＝2t，BP＝20﹣2t，BQ＝4t﹣20，

由PQ⊥BD易證△PBQ∽△DAB，

∴，

∴，

解得t＝6，

當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在DA上，如圖3，此時(shí)BP＝2t﹣20，PC＝60﹣2t，DQ＝4t﹣80，

過點(diǎn)P作PM⊥AD，交AD于M點(diǎn)，QM＝DQ﹣PC＝6t﹣140，

由PQ⊥BD易證△PMQ∽△DAB，

∴，

∴，

解得t＝25，

所以當(dāng)t＝6秒或t＝25時(shí)，PQ與BD垂直．