【題目】閱讀與思考 婆羅摩笈多(Brahmagupta),是一位印度數(shù)學家和天文學家,書寫了兩部關(guān)于數(shù)學和天文學的書籍,他的一些數(shù)學成就在世界數(shù)學史上有較高的地位,他的負數(shù)概念及加減法運算僅晚于中國《九章算術(shù)》,而他的負數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的,他還提出了著名的婆羅摩笈多定理,該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下:
已知:如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對角線AC⊥BD于點P,PM⊥AB于點M,延長MP交CD于點N,求證:CN=DN.
證明:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴…

(1)請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程,完成剩余的證明部分.
(2)已知:如圖2,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,點D在⊙O上,∠BCD=60°,連接AD,與BC交于點P,作PM⊥AB于點M,延長MP交CD于點N,則PN的長為

【答案】
(1)解:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,

∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.

∴∠BAP=∠BPM.

∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.

∴∠DPN=∠PDN,

∴DN=PN,

同理:CN=PN,

∴CN=DN


(2)1
【解析】解: (2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°, ∴∠ACD=45°+60°=105°,
又∵∠D=∠B=30°,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°,
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠CPD=90°,
在△CPD和△APB中, ,
∴△CPD≌△APB(AAS),
∴CD=AB=2,
∵∠CPD=90°,PM⊥AB于點M,延長MP交CD于點N,
∴同(1)得:CN=DN,
∴PN= CD=1;
所以答案是:1.
【考點精析】掌握含30度角的直角三角形和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.

練習冊系列答案
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少分數(shù)段(x表示分數(shù))

頻數(shù)

頻率

50≤x<60

4

0.1

60≤x<70

a

0.2

70≤x<80

12

b

80≤x<90

10

0.25

90≤x<100

6

0.15


(1)表中a= , b= , 并補全直方圖
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類別

霧霾天氣的主要成因

百分比

A

工業(yè)污染

45%

B

汽車尾氣排放

m

C

城中村燃煤問題

15%

D

其他(綠化不足等)

n


(1)請你求出本次被調(diào)查市民的人數(shù)及m,n的值,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若太原市有300萬人口,請你估計持有A,B兩類看法的市民共有多少人?
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