Question

【題目】如圖，已知，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作.求證：與相切.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

證法一：連接，，，，連接交于點(diǎn)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)和垂徑定理的推論證明垂直平分，然后利用垂徑定理和平行線的性質(zhì)求得，從而使問題得證；證法二：連接，，連接交于點(diǎn)，利用垂徑定理的推論得到，，然后利用平行線的性質(zhì)求得，從而使問題得證；證法三：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用垂徑定理的推論得到是的中點(diǎn)，然后判斷點(diǎn)與點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，然后然后利用平行線的性質(zhì)求得，從而使問題得證.

證明：證法一：連接，，，，連接交于點(diǎn).

∵，∴點(diǎn)在的垂直平分線上.

∵是的中點(diǎn)，∴，∴，

∴點(diǎn)在的垂直平分線上，

∴垂直平分，∴，

∵，∴，∴，

∵點(diǎn)為半徑的外端點(diǎn)，

∴與相切.

證法二：連接，，連接交于點(diǎn).

∵是的中點(diǎn)，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴，∴，

∵點(diǎn)為半徑的外端點(diǎn)，

∴與相切.

證法三：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∴，，∴是的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)與點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn).

∵，∴，∴，

∵點(diǎn)為半徑的外端點(diǎn)，

∴與相切.