Question

【題目】規(guī)定：把一次函數(shù)y＝kx＋b的一次項系數(shù)和常數(shù)項互換得y=bx＋k，我們稱y＝kx＋b和y＝bx＋k(其中k·b≠0，且|k|≠|(zhì)b|))為互助一次函數(shù)，例如：y＝－2x＋3和y＝3x－2就是互助一次函數(shù)．如圖1所示，一次函數(shù)y＝kx＋b和它的互助一次函數(shù)的圖象1，2交于點P，1，2與x軸、y軸分別交于點A，B和點C，D．

(1)如圖1所示，當(dāng)k＝－1，b＝5時，直接寫出點P的坐標(biāo)是_________．

(2)如圖2所示，已知點M(－1，1.5)，N(－2，0)．試探究隨著k，b值的變化，MP＋NP的值是否發(fā)生變化，若不變，求出MP＋NP的值；若變化，求出使MP＋NP取最小值時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）使取最小值時的點坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)互助一次函數(shù)的定義，由k＝－1，b＝5分別寫出兩個函數(shù)解析式，聯(lián)立，解二元一次方程組，即可求出交點P的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)立，解得=1，故點在直線上運動，的值隨之發(fā)生變化；作N點關(guān)于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短，可知連接對稱點和M的線段就是MP＋NP的最小值，用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出P點坐標(biāo)．

（1）聯(lián)立

解得：

即P點坐標(biāo)為，

故答案為：；

（2）由解得，

即，

隨著值的變化，點在直線上運動，的值隨之發(fā)生變化，如圖所示，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于點，則此時取得最小值．

設(shè)直線的函數(shù)解析式為，

分別將M(－1，1.5)和代入解析式得：

解得：

∴直線的函數(shù)解析式為：，

令，則

．

使取最小值時的點坐標(biāo)為．