【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,弦CD平分∠ACB,點E為弧AD上一點,連接CE、DE,CD與AB交于點N.
(1)如圖1,求證:∠AND=∠CED;
(2)如圖2,AB為⊙O直徑,連接BE、BD,BE與CD交于點F,若2∠BDC=90°﹣∠DBE,求證:CD=CE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接OF,若BE=BD+4,BC=,求線段OF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)OF=.
【解析】
(1)連接BE,則∠CAB=∠CEB,∠BCD=∠DEB,由CD是∠ACB的平分線得∠ACD=∠BCD,從而,∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB;由∠CAB+∠ACD=∠AND可得結論;
(2)根據2∠BDC=90°-∠DBE得∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC,由∠BDC=∠BAC得∠BDC+∠DBE=∠CFB,結合AB是直徑可得∠CFB=∠CBN,從而可證明∠CDE=∠CED,故可得結論;
(3)過C作CM⊥BE,CK⊥DB易證△CEM≌△CDK,△CMB≌△CKB從而求出CM=6,作FH⊥BC于點H,FH交CM于點G,易證△CGH≌△FHB,得CG=BF,設FM=x,利用tan∠GFM=tan∠MCB==求得 FM=3,CF=3. 作EQ⊥DF交DF于點Q,通過△CBF∽△EDF設FQ=3k,EQ==6k,則DQ=2k,EF=3k,DE=2k得BE=5+3k,BD=BE-4=3k+1,作DP⊥BE交于點P,運用勾股定理求出k的值,連接OD,在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5,故OF=.
(1)證明:連接BE.
∠CED=∠CEB+∠DEB
∠AND=∠CAB+∠ACD
∵CD是∠ACB的平分線
∴∠ACD=∠BCD=∠DEB
∵∠CAB=∠CEB,
∴∠CAB+∠ACD=∠CEB+∠DEB
∠CED=∠AND;
(2)∵2∠BDC=90-∠DBE
∴∠BDC+∠DBE=90°-∠BDC
∵∠BDC=∠BAC
∴∠BDC+∠DBE=∠CFB
∴90°-∠DBE=90°-∠CAB
∵AB是直徑,∴∠ACB=90
∴∠CFB=∠CBN,
∠CNB=∠CBE=∠CDE
∠CNB=∠AND=∠CED
∴∠CDE=∠CED,
∴CE=CD;
(3)過C作CM⊥BE,CK⊥DB
∴∠CME=∠CKD=90°,∠CEM=∠CDK,CE=CD
∴△CEM≌△CDK,∴EM=DK,CM=CK
∴△CMB≌△CKB,∴BM=BK
∴BE-BD=2BM=4,BM=2,∴CM=6.;
作FH⊥BC于點H,FH交CM于點G
∵∠FCB=45°∴△CGH≌△FHB,∴CG=BF
設FM=x,∴CG=BF=x+2,GM=6-(x+2)=4-x
tan∠GFM=tan∠MCB==
∴x=3,FM=3,CF=3.
∵△CBF∽△EDF(可以用正切值相等)
作EQ⊥DF交DF于點Q
設FQ=3k,EQ==6k,則DQ=2k,EF=3k,DE=2k
∴BE=5+3k,BD=BE-4=3k+1
作DP⊥BE交于點P,∵∠PED=∠BCD=45°,
∴PD=PE=DE=2k,PB=BE-PE=5+k;
在Rt△PDB中,PB2+PD2=DB2,(5+k)2+(2k)2=(3k+1)2
∴k=, DF=5k=3=CF, BD=3k+1=10,;
∴OF⊥CD
連接OD,∴∠AOD=∠BOD=90°,∴OD=BD=5
在Rt△ODF中,OF2=OD2 -DF2=50-45=5,∴OF=
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=2x經過點A(m,6),點B坐標為(4,0).
(1)求點A的坐標;
(2)若P為射線OA上的一點,當ΔPOB是直角三角形時,求P點的坐標.
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【題目】如圖,小明(視為小黑點)站在一個高為10米的高臺A上,利用旗桿OM頂部的繩索,劃過90°到達與高臺A水平距離為17米,高為3米的矮臺B.那么小明在蕩繩索的過程中離地面的最低點的高度MN是( )
A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米
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【題目】某公司有2位股東,25名工人,從2006年至2008年,公司每年股東的總利潤和每年工人的工資總額如圖所示.
(1)填寫下表
年份 | 2006年 | 2007年 | 2008年 |
工人的平均工資/元 |
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股東的平均工資/元 |
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(2)假設在以后的若干年中,每年工人的工資和股東的利潤都按圖中的速度增長,那么到哪一年,股東的平均利潤是工人的平均工資的10倍?
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【題目】有A、B兩個港口,水由A流向B,水流的速度是4千米/小時,甲、乙兩船同時由A順流駛向B,各自不停地在A、B之間往返航行,甲在靜水中的速度是28千米/小時,乙在靜水中的速度是20千米/小時.
設甲行駛的時間為t小時,甲船距B港口的距離為S1千米,乙船距B港口的距離為S2千米,如圖為S1(千米)和t(小時)函數關系的部分圖象.
(1)A、B兩港口距離是_____千米.
(2)在圖中畫出乙船從出發(fā)到第一次返回A港口這段時間內,S2(千米)和t(小時)的函數關系的圖象.
(3)求甲、乙兩船第二次(不算開始時甲、乙在A處的那一次)相遇點M位于A、B港口的什么位置?
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【題目】國家環(huán)保局統(tǒng)一規(guī)定,空氣質量分為5級:當空氣污染指數達0—50時為1級,質量為優(yōu);51—100時為2級,質量為良;101—200時為3級,輕度污染;201—300時為4級,中度污染;300以上時為5級,重度污染.某城市隨機抽取了2015年某些天的空氣質量檢測結果,并整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據圖中信息,解答下列各題:
(1)本次調查共抽取了 天的空氣質量檢測結果,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)扇形統(tǒng)計圖中3級空氣質量所對應的圓心角為 °;
(3)如果空氣污染達到中度污染或者以上,將不適宜進行戶外活動,請你估計2015年該城市有多少天不適宜開展戶外活動.(說明:2015年共365天)
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【題目】如圖,分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形,然后分別以三個正方形的中心為圓心,正方形邊長的一半為半徑作圓,記三個圓的面積分別為,,,則,,之間的關系是( )
A.B.C.D.無法確定
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【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D、E分別在邊AB、CB上,CD=DE,∠CDB=∠DEC,過點C作CF⊥DE于點F,交AB于點G,
(1)求證:△ACD≌△BDE;
(2)求證:△CDG為等腰三角形.
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【題目】為使中華傳統(tǒng)文化教育更具有實效性,軍寧中學開展以“我最喜愛的傳統(tǒng)文化種類”為主題的調查活動,圍繞“在詩詞、國畫、對聯(lián)、書法、戲曲五種傳統(tǒng)文化中,你最喜愛哪一種?(必選且只選一種)”的問題,在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查,將調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖,請你根據圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調查共抽取了多少名學生?
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若軍寧中學共有960名學生,請你估計該中學最喜愛國畫的學生有多少名?
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