Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM=∠ABC，點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1所示，①∠EDC= °；

②探究線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到CB延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，并證明此時(shí)DF與EC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①22.5；②DF=2CE．證明見解析；（2）畫圖見解析，DF=2CE；理由見解析.

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠BCM=67.5°，即可得出∠EDC的度數(shù)；

②作∠PDE=22.5°，交CE的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于N，證明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA證明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出結(jié)論；

（2）作∠PDE=22.5°，交CE的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于N，證明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA證明△DNF≌△PNC得出DF=PC，即可得出結(jié)論.

（1）①如圖1所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠ACM=∠ABC=22.5°，

∴∠BCM=67.5°，

∵DE⊥CM，

∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°；

故答案為：22.5；

②DF=2CE．理由如下：

證明：作∠PDE=22.5°，交CE的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于N，如圖2所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5°，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，

，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE．

（2）DF=2CE；理由如下：

證明：作∠PDE=22.5°，交CE的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于N，如圖3所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，

，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE．