Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=ax²+2ax+c的圖象與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B的坐標為（-3，0）
（1）求二次函數的解析式及頂點D的坐標；
（2）點M是第二象限內拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1：2的兩部分，求出此時點M的坐標；
（3）點P是第二象限內拋物線上的一動點，問：點P在何處時△CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此只需將點B、C的坐標代入其中求解即可．
（2）先畫出相關圖示，連接OD后發(fā)現：S_△OBD：S_{四邊形ACDB}=2：3，因此直線OM必須經過線段BD才有可能符合題干的要求；設直線OM與線段BD的交點為E，根據題干可知：△OBE、多邊形OEDCA的面積比應該是1：2或2：1，即△OBE的面積是四邊形ACDB面積的或，所以先求出四邊形ABDC的面積，進而得到△OBE的面積后，可確定點E的坐標，首先求出直線OE（即直線OM）的解析式，聯立拋物線的解析式后即可確定點M的坐標（注意點M的位置）．
（3）此題必須先得到關于△CPB的面積函數表達式，然后根據函數的性質來求出△CPB的面積最大值以及對于的點P坐標；通過圖示可發(fā)現，△CPB的面積可由四邊形OCPB的面積減去△OCB的面積求得，首先設出點P的坐標，四邊形OCPB的面積可由△OCP、△OPB的面積和得出，據此思路來解即可．
解答：解：（1）由題意，得：

解得：．
所以，所求二次函數的解析式為：y=-x²-2x+3，頂點D的坐標為（-1，4）．

（2）連接OD，如右圖；
易求：S_△OBD=×3×4=6，S_{四邊形ACDB}=S_△ABD+S_△ACD=×3×4+×3×2=9．
因此直線OM必過線段BD，易得直線BD的解析式為y=2x+6；
設直線OM與直線BD 交于點E，則△OBE的面積可以為3或6．
①當S_△OBE=×9=3時，易得E點坐標（-2，2），
則直線OE的解析式為y=-x，
設M點坐標（x，-x），聯立拋物線的解析式有：
-x=-x²-2x+3，
解得：x₁=，x₂=（舍去），
∴M（，）．
②當S_△OBE=×9=6時，同理可得M點坐標．
∴M點坐標為（-1，4）．

（3）連接OP，設P點的坐標為（m，n），因為點P在拋物線上，所以n=-m²-2m+3，
所以S_△CPB=S_△CPO+S_△OPB-S_△COB
=OC•（-m）+OB•n-OC•OB
=-m+n-
=（n-m-3）
=-（m²+3m）
=-（m+）²+．
因為-3＜m＜0，所以當m=-時，n=．△CPB的面積有最大值．
所以當點P的坐標為（-，）時，△CPB的面積有最大值，且最大值為．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的解法以及二次函數的應用等知識；（2）題中，一定先要探究一下點M的位置，以免出現漏解的情況．