Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)是10，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，將△EBF沿EF折疊，得到△EB′F．

（1）如圖1，連接AB′．

①若△AEB′為等邊三角形，則∠BEF等于多少度．

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段AB′與EF有何位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（2）如圖2，連接CB′，求△CB′F周長(zhǎng)的最小值．

（3）如圖3，連接并延長(zhǎng)BB′，交AC于點(diǎn)P，當(dāng)BB′＝6時(shí)，求PB′的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①∠BEF＝60°；②A B'∥EF，證明見(jiàn)解析；（2）△CB′F周長(zhǎng)的最小值5+5；（3）PB′＝．

【解析】

（1）①當(dāng)△AEB′為等邊三角形時(shí)，∠AE B′＝60°，由折疊可得，∠BEF＝ ∠BE B′＝ ×120°＝60°；②依據(jù)AE＝B′E，可得∠EA B′＝∠E B′A，再根據(jù)∠BEF＝∠B′EF，即可得到∠BEF＝∠BA B′，進(jìn)而得出EF∥A B′；

（2）由折疊可得，CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，依據(jù)B′E+ B′C≥CE，可得B′C≥CE﹣B′E＝5﹣5，進(jìn)而得到B′C最小值為5﹣5，故△CB′F周長(zhǎng)的最小值＝10+5﹣5＝5+5；

（3）將△ABB′和△APB′分別沿AB、AC翻折到△ABM和△APN處，延長(zhǎng)MB、NP相交于點(diǎn)Q，由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四邊形AMQN為正方形，設(shè)PB′＝PN＝x，則BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．依據(jù)∠BQP＝90°，可得方程22+（8﹣x）2＝（6+x）2，即可得出PB′的長(zhǎng)度．

（1）①當(dāng)△AE B′為等邊三角形時(shí)，∠AE B′＝60°，

由折疊可得，∠BEF＝∠BE B′＝×120°＝60°，

故答案為：60；

②A B′∥EF，

證明：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴AE＝BE，

由折疊可得BE＝B′E，

∴AE＝B′E，

∴∠EA B′＝∠E B′A，

又∵∠BEF＝∠B′EF，

∴∠BEF＝∠BA B′，

∴EF∥A B′；

（2）如圖，點(diǎn)B′的軌跡為半圓，由折疊可得，BF＝B′F，

∴CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，

∵B′E+ B′C≥CE，

∴B′C≥CE﹣B′E＝5﹣5，

∴B′C最小值為5﹣5，

∴△CB′F周長(zhǎng)的最小值＝10+5﹣5＝5+5；

（3）如圖，連接A B′，易得∠A B′B＝90°，

將△AB B′和△AP B′分別沿AB、AC翻折到△ABM和△APN處，延長(zhǎng)MB、NP相交于點(diǎn)Q，

由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四邊形AMQN為正方形，

由AB＝10，B B′＝6，可得A B′＝8，

∴QM＝QN＝A B′＝8，

設(shè)P B′＝PN＝x，則BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．

∵∠BQP＝90°，

∴22+（8﹣x）2＝（6+x）2，

解得：x＝，

∴P B′＝x＝．