Question

【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E. F,垂足為O.

(1)如圖1，連接AF、CE.求證：四邊形AFCE為菱形.

(2)如圖1，求AF的長.

(3)如圖2，動點P、Q分別從A. C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周。即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止。在運動過程中，點P的速度為每秒1cm，設(shè)運動時間為t秒.

①問在運動的過程中，以A. P、C. Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能，請求出運動時間t和點Q的速度；若不可能，請說明理由.

②若點Q的速度為每秒0.8cm，當(dāng)A. P、C. Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF=5cm；（3）①P點運動的時間是 8，Q的速度是0.5cm/s；②t=.

【解析】

（1）證△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可；

（2）設(shè)AF=CF=a，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程，求出即可；

（3）①只有當(dāng)P運動到B點，Q運動到D點時，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，求出時間t，即可求出答案；②分為三種情況，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可．

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵AC的垂直平分線EF，

∴AO=OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵ ，

∴△AEO≌△CFO(AAS)，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴平行四邊形AECF是菱形；

(2)設(shè)AF=acm，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AF=CF=acm，

∵BC=8cm，

∴BF=(8a)cm，

在Rt△ABF中,由勾股定理得：4 +(8a) =a，

a=5，

即AF=5cm；

(3)①在運動過程中，以A. P、C. Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，

只有當(dāng)P運動到B點，Q運動到D點時，以A. P、C. Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，

P點運動的時間是：(5+3)÷1=8，

Q的速度是：4÷8=0.5，

即Q的速度是0.5cm/s；

②分為三種情況：

第一、P在AF上，

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此時當(dāng)A. P、C. Q四點為頂點的四邊形不是平行四邊形；

第二、當(dāng)P在BF上時,Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時,當(dāng)A. P、C. Q四點為頂點的四邊形才有可能是平行四邊形,如圖,

∵AQ=8(0.8t4),CP=5+(t5)，

∴8(0.8t4)=5+(t5)，

t=，

第三情況：當(dāng)P在AB上時，Q在DE或CE上，此時當(dāng)A. P、C. Q四點為頂點的四邊形不是平行四邊形；

即t=.

綜上所述：當(dāng)A. P、C. Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,t=.