【題目】如圖,△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,點A在第四象限,點P坐標(biāo)為(8,0),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點O和A、P兩點.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.
(2)點B是y軸正半軸上一點,連接AB,過點B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點,且BC=AB,求點B坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點M是線段BC上一點,過點M作x軸的垂線交拋物線于點N,求△CBN面積的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)先根據(jù)是等腰直角三角形,和點P的坐標(biāo)求出點A的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求得;
(2)設(shè)點,如圖(見解析),過點C作CH垂直y軸于點H,過點A作AQ垂直y軸于點Q,易證明,可得,則點C坐標(biāo)為,將其代入題(1)中的拋物線函數(shù)關(guān)系式即可得;
(3)如圖,延長NM交CH于點E,則,先通過點B、C求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式,因點N在拋物線上,則設(shè),則可得點M的坐標(biāo),再根據(jù)三角形的面積公式列出等式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
(1)是等腰直角三角形,,點P坐標(biāo)為
則點A的坐標(biāo)為
將點O、A、B三點坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式得:
,解得:
故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:;
(2)設(shè)點,過點C作CH垂直y軸于點H,過點A作AQ垂直y軸于點Q,
又
故點C的坐標(biāo)為
將點C的坐標(biāo)代入題(1)的拋物線函數(shù)關(guān)系式得:
,解得:
故點B的坐標(biāo)為;
(3)如圖,延長NM交CH于點E,則
設(shè)直線BC的解析式為:,將點,點代入得:
解得:
則直線BC的解析式為:
因點N在拋物線上,設(shè),則點M的坐標(biāo)為
的面積
即
整理得:
又因點M是線段BC上一點,則
由二次函數(shù)的性質(zhì)得:當(dāng)時,y隨x的增大而增大;當(dāng)時,y隨x的增大而減小
故當(dāng)時,取得最大值.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,為的中點,若動點從點出發(fā),沿著的方向運動,連接,當(dāng)是直角三角形時,的值為( )
A.4B.7C.4或7D.4或1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年5月,以“尋根國學(xué),傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學(xué)少年強一國學(xué)知識挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開帷幕,小明晉級了總決賽.比賽過程分兩個環(huán)節(jié),參賽選手須在每個環(huán)節(jié)中各選擇一道題目.
第一環(huán)節(jié):寫字注音、成語故事、國學(xué)常識、成語接龍(分別用表示);
第二環(huán)節(jié):成語聽寫、詩詞對句、經(jīng)典通讀(分別用表示)
(1)請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果
(2)求小明參加總決賽抽取題目都是成語題目(成語故事、成語接龍、成語聽寫)的概率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度數(shù);
(2)當(dāng)OA=3時,求AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABCD的頂點B,C在x軸上,A,D兩點分別在反比例函數(shù)y=﹣(x<0)與y=(x>0)的圖象上,若ABCD的面積為4,則k的值為:_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列條件中不能判定這兩個三角形相似的是( )
A. ∠A=55°,∠D=35°
B. AC=9,BC=12,DF=6,EF=8
C. AC=3,BC=4,DF=6,DE=8
D. AB=10,AC=8,DE=15,EF=9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中點,DE⊥DF,點E,F分別在AC,BC上,求證:DE=DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,A(2,0),B(0,2),C(,0),點P(m,n)為直線AB上一動點,若∠OPC=30°,則m的值為_____.
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