【題目】如圖,已知BC是⊙O的直徑,AD切⊙于點A,CD∥OA交⊙O于另一點E.
(1)求證:△ACD∽△BCA;
(2)若A是⊙O上一動點,則
①當(dāng)∠B=_____時,以A,O,C,D為頂點的四邊形是正方形;
②當(dāng)∠B=_____時,以A,O,C,E為頂點的四邊形是菱形.
【答案】(1)詳見解析;(2)①45°;②60°
【解析】
(1)證明∠BAC=∠ADC與∠ACD=∠ACO,即可證明△ACD∽△BCA;
(2)①當(dāng)∠B=45°時,以A,O,C,D為頂點的四邊形是正方形;②當(dāng)∠B=60°時,以A,O,C,D為頂點的四邊形是棱形.
解:(1)證明:∵AD 切⊙O 于點 A,
∴OA⊥AD,
∵CD∥OA,
∴∠ADC=90°,
∵BC 是⊙O 的直徑,
∴∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠ADC,
又∵CD∥OA,
∴∠ACD=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠ACD=∠ACO,
∴△ACD∽△BCA;
(2)①∵四邊形AOCD為正方形,
∴∠AOC=90°,
∵OA=OC,
∠OCA=∠OAC=45°,
∵∠BAC=90°,
∴∠B=90°﹣45°=45°,
故答案為45°;
②連接AE,
∵AD為切線,
∴∠DAE=∠ECA,∠OAD=90°
∵四邊形AOCE為菱形,
∠OAC=∠EAC,
∴∠DAE=∠ECA=∠OAC=30°
∴∠ACO=30°,
∴∠AOB=∠ACO+∠OAC=30°+30°=60°
∵OA=OB,
∴∠B=60°.
故答案為 60°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)方法選擇:如圖①,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD,AB=BC=AC.求證:BD=AD+CD.
小穎認(rèn)為可用截長法證明:在DB上截取DM=AD,連接AM…
小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明:延長CD至點N,使得DN=AD…
請你選擇一種方法證明.
(2)類比探究:(探究1)如圖②,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD,BC是⊙O的直徑,AB=AC.試用等式表示線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系,井證明你的結(jié)論.
(探究2)如圖③,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD.若BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,則線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式是 .
(3)拓展猜想:如圖④,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD.若BC是⊙O的直徑,BC:AC:AB=a:b:c,則線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2﹣4=0有兩個不相等的實數(shù)根
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若兩個實數(shù)根的平方和等于15,求實數(shù)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C、D為⊙O上的點,P為圓外一點,PC、PD均與圓相切,設(shè)∠A+∠B=130°,∠CPD=β,則β=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O直徑,點D為AB下方⊙O上一點,點C為弧ABD中點,連接CD,CA.
(1)若∠ABD=α,求∠BDC(用α表示);
(2)過點C作CE⊥AB于H,交AD于E,∠CAD=β,求∠ACE(用β表示);
(3)在(2)的條件下,若OH=5,AD=24,求線段DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 鄭州某商場在“六一”兒童節(jié)購進(jìn)一批兒童智力玩具.已知成批購進(jìn)時單價20元,調(diào)查發(fā)現(xiàn):該玩具的月銷售量y(個)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,下表是月銷售量、銷售單價的幾組對應(yīng)關(guān)系:
月銷售單價x/元 | 30 | 35 | 40 | 45 |
月銷售量y/個 | 230 | 180 | 130 | m |
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)以上信息填空:
①m=______;
②當(dāng)銷售單價x=______元時,月銷售利潤最大,最大利潤是______元;
(3)根據(jù)物價部門規(guī)定,每件玩具售價不能高于40元,若月銷售利潤不低于2520元,試求銷售單價x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓p(單位:千帕)隨氣體體積V(單位:立方米)的變化而變化,p隨V的變化情況如表所示.
P | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 4 | … |
V | 64 | 48 | 38.4 | 32 | 24 | … |
(1)寫出一個符合表格數(shù)據(jù)的p關(guān)于V的函數(shù)解析式
(2)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r,氣球?qū)⒈ǎ勒眨?/span>1)中的函數(shù)解析式,基于安全考慮,氣球的體積至少為多少立方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6,點D是射線OM上的動點,當(dāng)點D不與點A重合時,將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE,設(shè)OD=m.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△CDE的形狀是 三角形.
(2)探究證明
如圖2,當(dāng)6<m<10時,△BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出△BDE周長的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)解決問題
是否存在m的值,使△DEB是直角三角形?若存在,請直接寫出m的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按要求解方程:
(1)直接開平方法: 4(t-3)2=9(2t-3)2
(2)配方法:2x2-7x-4=0
(3)公式法: 3x2+5(2x+1)=0
(4)因式分解法:3(x-5)2=2(5-x)
(5)abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)
(6)用配方法求最值:6x2-x-12
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