Question

【題目】在平面直角坐標系中，過點A（3，4）的拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點B（﹣1，0），與y軸交于點C，過點A作AD⊥x軸于點D．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，點P是直線AB上方拋物線上的一個動點，連接PD交AB于點Q，連接AP，當S△AQD＝2S△APQ時，求點P的坐標．

（3）如圖2，G是線段OC上一個動點，連接DG，過點G作GM⊥DG交AC于點M，過點M作射線MN，使∠NMG＝60°，交射線GD于點N；過點G作GH⊥MN，垂足為點H，連接BH．請直接寫出線段BH的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）點P的坐標為（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；（3）BH最小＝．

【解析】

（1）利用待定系數法求解可得；

（2）作PE∥x軸，交AB于點E，由且△AQD與△APQ是等高的兩個三角形知，證△PQE∽△DQB得，據此求得PE=2，求得直線AB的解析式為y=x+1，設E（x，x+1），知P（x-2，x+1），將點P坐標代入求得x的值，從而得出答案；

（3）證∠GHM=90°，再證點C、G、H、M共圓得∠GCH=∠GMH=60°，據此知點H在與y軸夾角為60°的定直線上，從而得BH⊥CH時，BH最小，作HP⊥x軸，并延長PH交AC于點Q，證∠BHP=∠HCM=30°，設OP=a，知CQ=a，從而得QH=，BP=1+a，在Rt△BPH中，得出HP=（a+1），BH=2（1+a），根據QH+HP=AD=4可求得a的值，從而得出答案．

（1）將點A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，

得：，

解得，

∴y＝﹣x2+3x+4；

（2）如圖1，過點P作PE∥x軸，交AB于點E，

∵A（3，4），AD⊥x軸，

∴D（3，0），

∵B（﹣1，0），

∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，

∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD與△APQ是等高的兩個三角形，

∴，

∵PE∥x軸，

∴△PQE∽△DQB，

∴，

∴，

∴PE＝2，

∴可求得直線AB的解析式為y＝x+1，

設E（x，x+1），則P（x﹣2，x+1），

將點P坐標代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣（x-2）2+3（x-2）+4＝x+1，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

當x＝3+時，x﹣2＝3+﹣2＝1+，x+1＝3++1＝4+，

∴點P（1+，4+）；

當x＝3﹣時，x﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x+1＝3﹣+1＝4﹣，

∴P（1﹣，4﹣），

∵點P是直線AB上方拋物線上的一個動點，

∴﹣1＜x﹣2＜3，

∴點P的坐標為（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；

（3）由（1）得，拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4，

∴C（0，4），

∵A（3，4），

∴AC∥x軸，

∴∠OCA＝90°，

∴GH⊥MN，

∴∠GHM＝90°，

在四邊形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，

∴點C、G、H、M共圓，

如圖2，連接CH，

則∠GCH＝∠GMH＝60°，

∴點H在與y軸夾角為60°的定直線上，

∴當BH⊥CH時，BH最小，過點H作HP⊥x軸于點P，并延長PH交AC于點Q，

∵∠GCH＝60°，

∴∠HCM＝30°，

又BH⊥CH，

∴∠BHC＝90°，

∴∠BHP＝∠HCM＝30°，

設OP＝a，則CQ＝a，

∴QH＝a，

∵B（﹣1，0），

∴OB＝1，

∴BP＝1+a，

在Rt△BPH中，HP＝＝（a+1），BH＝＝2（1+a），

∵QH+HP＝AD＝4，

∴a+（a+1）＝4，

解得a＝，

∴BH最小＝2（1+a）＝．