【題目】如圖,矩形紙片ABCD,AB=4,BC=3,點P在BC邊上,將△CDP沿DP折疊,點C落在點E處,PE、DE分別交AB于點O、F,且OP=OF,則BF的長為_____.
【答案】
【解析】
根據(jù)折疊的性質可得出DC=DE、CP=EP,由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP,根據(jù)全等三角形的性質可得出OE=OB、EF=BP,設BF=EP=CP=x,則AF=4﹣x,BP=3﹣x=EF,DF=DE﹣EF=4﹣(3﹣x)=x+1,依據(jù)Rt△ADF中,AF2+AD2=DF2,即可得到x的值.
解:根據(jù)折疊可知,DC=DE=4,CP=EP,∠B=∠E=90°,
在△OEF和△OBP中,
,
∴△OEF≌△OBP(AAS),
∴OE=OB,EF=BP,
∴BF=EP=CP,
設BF=EP=CP=x,則AF=4﹣x,BP=3﹣x=EF,DF=DE﹣EF=4﹣(3﹣x)=x+1,
∵∠A=90°,
∴在Rt△ADF中,AF2+AD2=DF2,
即(4﹣x)2+32=(1+x)2,
解得:x=,
∴BF=,
故答案為:.
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【題目】下面是小明主設計的“作一個含30°角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.
已知:直線l.
求作:△ABC,使得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
作法:如圖,
①在直線l上任取兩點O,A;
②以點O為圓心,OA長為半徑畫弧,交直線l于點B;
③以點A為圓心,AO長為半徑畫弧,交于點C;
④連接AC,BC.
所以△ABC就是所求作的三角形.
根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程:
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:在⊙O中,AB為直徑,
∴∠ACB=90°(① ),(填推理的依據(jù))
連接OC
∵OA=OC=AC,
∴∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°(② ),(填推理的依據(jù))
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【題目】《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開方術、正負術和方程術.其中,方程術是《九章算術》最高的數(shù)學成就.《九章算術》中記載:“今有甲乙二人持錢不知其數(shù).甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何?”
譯文:“假設有甲乙二人,不知其錢包里有多少錢.若乙把自己一半的錢給甲,則甲的錢數(shù)為50;而甲把自己的錢給乙,則乙的錢數(shù)也能為50.問甲、乙各有多少錢?”
設甲持錢為x,乙持錢為y,可列方程組為______.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結論:①abc>0;②2a+b=0;③若m為任意實數(shù),則a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=2.其中,正確結論的個數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】某商場同時購進甲、乙兩種商品共100件,其進價和售價如下表:
商品名稱 | 甲 | 乙 |
進價(元/件) | 40 | 90 |
售價(元/件) | 60 | 120 |
設其中甲種商品購進x件,商場售完這100件商品的總利潤為y元.
(Ⅰ)寫出y關于x的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)該商場計劃最多投入8000元用于購買這兩種商品,
①至少要購進多少件甲商品?
②若銷售完這些商品,則商場可獲得的最大利潤是多少元?
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)y1=x﹣2的圖象與函數(shù)y2=的圖象在第一象限有一個交點A,且點A的橫坐標是6.
(1)求m的值;
(2)補全表格并以表中各組對應值作為點的坐標,在直角坐標系內描出相應的點,補充畫出y2的函數(shù)圖象;
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 1.2 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y2 | ﹣1 | 1 | 5 | 7 | 5.2 | 3.5 | 2 | 1 | 1 | 2 |
(3)寫出函數(shù)y2的一條性質: ;
(4)已知函數(shù)y1與y2的圖象在第一象限有且只有一個交點A,若函數(shù)y3=x+n與y2的函數(shù)圖象有三個交點,求n的取值范圍.
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【題目】如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,△ABC的頂點都在網(wǎng)格線交點上.
(1)圖中AC邊上的高為 個單位長度;
(2)只用沒有刻度的直尺,在所給網(wǎng)格圖中按如下要求畫圖(保留必要痕跡):
①以點C為位似中心,把△ABC按相似比1:2縮小,得到△DEC;
②以AB為一邊,作矩形ABMN,使得它的面積恰好為△ABC的面積的2倍.
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【題目】某文具店銷售甲、乙兩種圓規(guī),當銷售5只甲種、1只乙種圓規(guī),可獲利潤25元,銷售6只甲種、3只乙種圓規(guī),可獲利潤39元.
(1)問該文具店銷售甲、乙兩種圓規(guī),每只的利潤分別是多少元?
(2)在(1)中,文具店共銷售甲、乙兩種圓規(guī)50只,其中甲種圓規(guī)為a只,求文具店所獲得利潤P與a的函數(shù)關系式,并求當a≥30時P的最大值.
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【題目】如圖,正方形PQMN在△ABC內,點P在AC上,點Q、M在AB上,N在△ABC內,連接AN并延長交BC于G,過G點作GD∥AB交AC于D,過D、G分別作DE ⊥AB,GF⊥AB,垂足分別為E、F.
(1)求證:DG=GF;
(2)若AB=10,S△ABC=40,試求四邊形DEFG的面積.
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