Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2+bx+c（b，c是常數(shù)，且c＜0）與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0）．

（1）b= ， 點B的橫坐標為（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；
（2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線y= x2+bx+c交于點E，點D是x軸上的一點，其坐標為（2，0）．當C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一個動點，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．
求S的取值范圍；
（4）若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有個．

Answer 1

【答案】
（1）
+c；﹣2c
（2）

解：方法一：

∵拋物線y= x2+bx+c與y軸的負半軸交于點C，

∴當x=0時，y=c，即點C坐標為（0，c）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，

∵B（﹣2c，0），

∴﹣2kc+c=0，

∵c≠0，

∴k= ，

∴直線BC的解析式為y= x+c．

∵AE∥BC，

∴可設(shè)直線AE得到解析式為y= x+m，

∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴ ×（﹣1）+m=0，解得m= ，

∴直線AE得到解析式為y= x+ ．

由 ，解得 ， ，

∴點E坐標為（1﹣2c，1﹣c）．

∵點C坐標為（0，c），點D坐標為（2，0），

∴直線CD的解析式為y=﹣ x+c．

∵C，D，E三點在同一直線上，

∴1﹣c=﹣ ×（1﹣2c）+c，

∴2c2+3c﹣2=0，

∴c1= （與c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，

∴b= +c=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2

方法二：

B（﹣2c，0），C（0，c），

∴KBC= ，

∵AE∥BC，∴KAE=KBC= ，

∵A（﹣1，0），

∴l(xiāng)AE：y= x+ ，

∵拋物線：y= x2+（c+ ）x+c，

x2+（c+ ）x+c= x+ ，

經(jīng)整理：x2+2cx+2c﹣1=0，

（x+2c﹣1）（x+1）=0，

∴x1=﹣2c+1，x2=﹣1，

∴E（﹣2c+1，﹣c+1），C（0，c），D（2，0）三點共線，

∴KCD=KDE，∴ ，

經(jīng)整理，得2c2+3c﹣2=0，

解得：c=﹣2或c= （舍），

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2

（3）

解：方法一：①設(shè)點P坐標為（x， x2﹣ x﹣2）．

∵點A的坐標為（﹣1，0），點B坐標為（4，0），點C坐標為（0，﹣2），

∴AB=5，OC=2，直線BC的解析式為y= x﹣2．

分兩種情況：

（Ⅰ）當﹣1＜x＜0時，0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB= ABOC=5，

∴0＜S＜5；

（Ⅱ）當0＜x＜4時，過點P作PG⊥x軸于點G，交CB于點F．

∴點F坐標為（x， x﹣2），

∴PF=PG﹣GF=﹣（ x2﹣ x﹣2）+（ x﹣2）=﹣ x2+2x，

∴S=S△PFC+S△PFB= PFOB= （﹣ x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當x=2時，S最大值=4，

∴0＜S≤4．

綜上可知0＜S＜5

方法二：①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC′于F，

lBC：y= x﹣2，設(shè)P（m， m2﹣ m﹣2），那么F（m， m﹣2），

∴FP=﹣ m2+2m，

∴S△PBC= FP（BX﹣CX）=2FP，

S△PBC=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

因此當P在BC下方時，S△PBC的最大值為4，

當P在BC上方時，∵S△ABC=5，∴S△PBC＜5，

綜上所述：0＜S△PBC＜5，

（4）

11

【解析】方法一：
解：（1）∵拋物線y= x2+bx+c過點A（﹣1，0），
∴0= ×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，
∴b= +c，
∵拋物線y= x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）、B（xB ， 0）（點A位于點B的左側(cè)），
∴﹣1與xB是一元二次方程 x2+bx+c=0的兩個根，
∴﹣1xB= ，
∴xB=﹣2c，即點B的橫坐標為﹣2c；
4）∵0＜S＜5，S為整數(shù)，
∴S=1，2，3，4．
分兩種情況：
（Ⅰ）當﹣1＜x＜0時，設(shè)△PBC中BC邊上的高為h．
∵點A的坐標為（﹣1，0），點B坐標為（4，0），點C坐標為（0，﹣2），
∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∠ACB=90°，BC邊上的高AC= ．
∵S= BCh，∴h= = = S．
如果S=1，那么h= ×1= ＜ ，此時P點有1個，△PBC有1個；
如果S=2，那么h= ×2= ＜ ，此時P點有1個，△PBC有1個；
如果S=3，那么h= ×3= ＜ ，此時P點有1個，△PBC有1個；
如果S=4，那么h= ×4= ＜ ，此時P點有1個，△PBC有1個；
即當﹣1＜x＜0時，滿足條件的△PBC共有4個；
（Ⅱ）當0＜x＜4時，S=﹣x2+4x．
如果S=1，那么﹣x2+4x=1，即x2﹣4x+1=0，
∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時P點有2個，△PBC有2個；
如果S=2，那么﹣x2+4x=2，即x2﹣4x+2=0，
∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時P點有2個，△PBC有2個；
如果S=3，那么﹣x2+4x=3，即x2﹣4x+3=0，
∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時P點有2個，△PBC有2個；
如果S=4，那么﹣x2+4x=4，即x2﹣4x+4=0，
∵△=16﹣16=0，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，此時P點有1個，△PBC有1個；
即當0＜x＜4時，滿足條件的△PBC共有7個；
綜上可知，滿足條件的△PBC共有4+7=11個．
所以答案是 +c，﹣2c；11．
方法二：
②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有11個．

【考點精析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商才能正確解答此題．