Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE＝OD．

（1）求證：OP＝OF；

（2）若設(shè)AP＝x，試求CF的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；

（3）求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）CF＝8﹣x；（3）AP＝4.8．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出∠D＝∠A＝∠C＝90°，由翻折的性質(zhì)得出∠E＝∠D，由ASA證明△ODP≌△OEF，得出OP＝OF；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出PD＝EF ，得出DF＝EP，設(shè)AP＝PE＝DF＝x，

則CF＝8﹣x即可；

（3）由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，

由翻折的性質(zhì)可知：∠E＝∠A＝90°，

∴∠E＝∠D，

在△ODP和△OEF中，

，

∴△ODP≌△OEF（ASA）．

∴OP＝OF．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，

∵△ODP≌△OEF（ASA），

∴OP＝OF，PD＝EF．

∴DF＝EP．

∵AP＝PE＝DF＝x，

∴CF＝8﹣x．

（3）∵AD＝BC＝6，PA＝PE＝DF＝x，

∴PD＝EF＝6﹣x，CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x，

在Rt△FCB根據(jù)勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，

即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，

解得：x＝4.8，

∴AP＝4.8．