Question

【題目】已知：如圖（1），如果AB∥CD∥EF. 那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

老師要求學(xué)生在完成這道教材上的題目后，嘗試對(duì)圖形進(jìn)行變式，繼續(xù)做拓展探究，看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

（1）小華首先完成了對(duì)這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質(zhì)，小華用到的平行線性質(zhì)可能是______________.

（2）接下來，小華用《幾何畫板》對(duì)圖形進(jìn)行了變式，她先畫了兩條平行線AB，EF，然后在平行線間畫了一點(diǎn)C，連接AC，EC后，用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)C，分別得到了圖（2）（3）（4），小華發(fā)現(xiàn)圖（3）正是上面題目的原型，于是她由上題的結(jié)論猜想到圖（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE與∠CEF之間也可能存在著某種數(shù)量關(guān)系．然后，她利用《幾何畫板》的度量與計(jì)算功能，找到了這三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)你在小華操作探究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)完成下面的問題：

①猜想：圖（2）中∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數(shù)量關(guān)系： .

②補(bǔ)全圖（4），并直接寫出圖中∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數(shù)量關(guān)系： . （3）小華繼續(xù)探究：如圖（5），若直線AB與直線EF不平行，點(diǎn)G，H分別在直線AB、直線EF上，點(diǎn)C在兩直線外，連接CG，CH，GH，且GH同時(shí)平分∠BGC和∠FHC，請(qǐng)?zhí)剿鳌?/span>AGC，∠GCH與∠CHE之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).（2）①∠ACE=∠BAC+∠FEC.②∠ACE=∠FEC-∠BAC．（3）2∠GCH=∠AGC+∠CHE．

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解決問題；

（2）①猜想∠ACE=∠BAC+∠FEC．過點(diǎn)C作CD∥AB．利用平行線的性質(zhì)即可解決問題；

②∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數(shù)量關(guān)系是∠ACE=∠FEC-∠BAC．利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；

（3）延長(zhǎng)AB，EF，交于點(diǎn)P，依據(jù)∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，即可得到∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），再根據(jù)四邊形內(nèi)角和，即可得到四邊形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=∠AGC+∠CHE，進(jìn)而得出結(jié)論．

(1)如圖，

∵AB∥CD∥EF

∴∠BAC+∠ACD=180°,（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∠DCE+∠CEF=180°,（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

（2）①圖（2）中∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數(shù)量關(guān)系：∠ACE=∠BAC+∠FEC.

證明：過點(diǎn)C作CD∥AB，如圖，

∴∠BAC=∠ACD，

∵AB∥EF，

∴EF∥CD，

∴∠DCE=∠CEF

∴∠ACD+∠DCE=∠BAC+∠CEF，即∠ACE=∠BAC+∠FEC.

②連接AC，CE交AB于點(diǎn)D，如圖，

∵AB∥EF

∴∠BDC=∠CEF，

∵∠BDC=∠BAC+∠ACE

∴∠CEF=∠BAC+∠ACE，即∠ACE=∠FEC-∠BAC．

(3) 延長(zhǎng)AB，EF，交于點(diǎn)P，如圖，

∵GH同時(shí)平分∠BGC和∠FHC，

∴∠CGH=∠BGH，∠CHG=∠FHG，

∴∠C=∠P，

∵∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，

∴∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），

∵四邊形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=360°-[360°-（∠AGC+∠CHE）]= ∠AGC+∠CHE，

即2∠GCH=∠AGC+∠CHE．