【題目】已知:平面直角坐標系中,點A在y軸的正半軸上,點B在第二象限, AO= AB,∠BOX=150° .
(1)試判定△ABO的形狀;
(2)若BC⊥BO,BC=BO,點D為CO的中點,AC、DB交于E,求證:AE=BE+CE.
(3)如圖:若點E為y軸的正半軸上一動點,以BE為邊作等邊△BEG,延長GA交x軸于點P,問:AP與AO之間有何數量關系,試證明你的結論.
【答案】(1) △AOB為等邊三角形;(2)證明見解析;(3)AP=2AO,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)根據∠BOX=150°, ∠AOX=90°,計算出∠AOB=60°,又因為AO= AB,所以可以判定△ABO是等邊三角形,(2)在AC上截取AM=CE,先證∠AEB=60°,理由是根據題意可得△AOB為等邊三角形, △BOC為等腰直角三角形,確定出∠ABD度數,根據AB=BC,且夾角∠BAC=∠BCA,利用SAS得到△BCM和△BAE全等,利用全等三角形的性質可得BM=BE,得到△BEM是等邊三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代換即可求證,
(3)AP=2AO,理由是根據題意得到BG=BE,AB=OB,
利用等式的性質得到∠ABG=∠OBE=60°,利用外角的性質得到∠APO=30°,在直角三角形中,利用30度所對直角邊等于斜邊的一半可以得到AP=2AO.
試題解析:(1)∵OB與x軸正半軸夾角為150°,x軸⊥y軸,
∴∠AOB=150°-90°=60°,
∵AO=AB,
∴△AOB為等邊三角形,
(2)在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM,
∵△AOB為等邊三角形, △BOC為等腰直角三角形,
∴∠OBC=90°,∠ABO=60°,
∵D為CO的中點,
∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°,
∴∠ABD=105°,∠ABC=150°,
∴∠BAC=∠BCA=15°,
∴∠AEB=60°,
在△ABE和△CBM中,AB=CB,∠BAE=∠BCM,AE=CM,
∴△ABE≌△CBM(SAS),
∴BM=BE,
∴△BEM為等邊三角形,
∴BE=EM,
∴AE=AM+EM=CE+BE,
(3)AP=2AO,理由為:
∵△AOB與△BGE都為等邊三角形,
∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°,
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA,即∠ABG=∠OBE,
在△ABG和△OBE中,AB=OB,∠ABG=∠OBE,BE=BG,
∴△ABG≌△OBE(SAS),
∴△ABG≌△OBE(SAS),
∴∠BAG=∠BOE=60°,
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°,
∵∠GAO為△AOP的外角,且∠AOP=90°,
∴∠APO=30°,
在Rt△AOP中,∠APO=30°,
則AP=2AO.
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【題目】下列說法錯誤的是( )
A. 一組數據的眾數、中位數和平均數不可能是同一個數
B. 一組數據的平均數既不可能大于,也不可能小于這組數據中的所有數據
C. 一組數據的中位數可能與這組數據的任何數據都不相等
D. 眾數、中位數和平均數從不同角度描述了一組數據的集中趨勢
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【題目】某青年旅社有60間客房供游客居住,在旅游旺季,當客房的定價為每天200元時,所有客房都可以住滿.客房定價每提高10元,就會有1個客房空閑,對有游客入住的客房,旅社還需要對每個房間支出20元/每天的維護費用,設每間客房的定價提高了x元.
(1)填表(不需化簡)
入住的房間數量 | 房間價格 | 總維護費用 | |
提價前 | 60 | 200 | 60×20 |
提價后 |
|
|
|
(2)若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客,則每間客房的定價應為多少元?(純收入=總收入﹣維護費用)
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC= 度.
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【題目】已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有兩個不相等的實數根
(1)求k的取值范圍;
(2)如果k是符合條件的最大整數,且一元二次方程x2﹣4x+k=0與x2+mx﹣1=0有一個相同的根,求此時m的值.
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【題目】如圖所示,若將類似于a、b、c、d四個圖的圖形稱做平面圖,則其頂點數、邊數與區(qū)域數之間存在某種關系.觀察圖b和表中對應的數值,探究計數的方法并作答.
(1)數一數每個圖中各有多少個頂點、多少條邊,這些邊圍出多少個區(qū)域并填表:
圖 | a | b | c | d |
頂點數(S) | 7 | |||
邊數(M) | 9 | |||
區(qū)域數(N) | 3 |
(2)根據表中數值,寫出平面圖的頂點數、邊數、區(qū)域數之間的一種關系;
(3)如果一個平面圖有20個頂點和11個區(qū)域,那么利用(2)中得出的關系可知這個平面圖有條邊.
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【題目】使(ax2﹣3xy+4y2)﹣(﹣x2+bxy+5y2)=6x2﹣7xy+cy2成立的a,b,c的值依次是( 。
A. 7,﹣4,﹣1 B. 5,4,﹣1 C. 7,﹣4,1 D. 5,4,1
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【題目】某學校積極響應上級的號召,舉行了“決不讓一個學生因貧困而失學”的捐資助學活動,其中6個班同學的捐款平均數如下表:
班級 | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
捐款平均數(元) | 6 | 4.6 | 4.1 | 3.8 | 4.8 | 5.2 |
則這組數據的中位數是多少元?
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