【題目】已知:內(nèi)接于,直徑交邊于點(diǎn),.
(1)如圖所示,求證:;
(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)作于H,交于,交于點(diǎn),連接,求證:;
(3)如圖所示,在(2)的條件下,延長(zhǎng)至點(diǎn),連接、,過(guò)點(diǎn)作于,射線(xiàn)交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,,若,,求的半徑.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)5
【解析】
(1)通過(guò)證明△AEC≌△BEC,得到;
(2)連接DB,AG,由(1)知CD⊥AB,∠ACD=∠BCD,再根據(jù)等角的余角相等和同弧所對(duì)的圓周角相等可得到∠GBA=∠BGD,∠GAB=∠BDG,進(jìn)而證明△DBG≌△AGB(AAS),即可得到GD=AB;
(3)根據(jù)AM⊥OB,結(jié)合前兩問(wèn)結(jié)論,易證,,再根據(jù)AAA證明△ABK∽△CBA,△CAB∽△PAC,設(shè)半徑為r,則AC=AE=,由得,可求得,則,再由PN=AN=,則,由,可求得.
解:(1)證明:∵CD為直徑,,
∴CD⊥AB,
∴∠AEC=∠BEC=90°,
在△AEC和△BEC中,
,
∴△AEC≌△BEC,
∴;
(2)連接DB,AG,
∵BG⊥AC,
∴∠HBA+∠HAB=90°,
由(1)知,CD⊥AB,∠ACD=∠BCD,
∴∠CAB+∠ACE=90°,
∴∠HBA=∠ACE,
∴∠GBA=∠BCD=∠BGD,
又∵∠GAB=∠BDG,
∴在△DBG和△AGB中,
,
∴△DBG≌△AGB(AAS),
∴GD=AB;
(3)連接BD,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AN的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,
∵OD是的半徑,AE=BE,
∴OD⊥AB,
∵∠CFB為△CHF的外角,
∴∠CFB=∠CHF+∠HCF=90°+∠HCF,
∵∠CFB為△FEB的外角,
∴∠CFB=∠FEB+∠FBE=90°+∠FBE,
∴∠HCF=∠ABD,
∵∠HCF=∠ACD=∠ABD,
∴∠FBE=∠ABD,
∵∠BEF=∠BED,∠FBE=∠ABD,BE=BE,
∴△BFE≌△BDE,
∴FE=DE,
∵OF=AE,AE=BE,
∴OF=BE,
設(shè)FE=ED=a,OF=BE=b,
∴,
在Rt△OEB中,,
∴,
解得:,或(舍去),
∴,,
∴,,
∵,
∴∠KAB=∠EOB=2∠OCB=∠ACB,
而∠KBA=∠ABK,
∴△ABK∽△CBA,
∴∠KAB=∠ACB,
又∵AN=NP,
∴∠KAB=∠APN,
∴∠ACB=∠APN,
而∠CAB=∠PAC,
∴△CAB∽△PAC,
設(shè)半徑為r,
則AC=AE=,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵PN=AN=,
則,,
∴,
得:,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,CE是∠DCB的角平分線(xiàn),且交AB于點(diǎn)E,DB與CE相交于點(diǎn)O,
(1)求證:△EBC是等腰三角形;
(2)已知:AB=7,BC=5,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓心為M的量角器的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸,y軸正半軸上(包括原點(diǎn)O),AB=4.點(diǎn)P,Q分別在量角器60°,120°刻度線(xiàn)外端,連結(jié)MP.量角器從點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合滑動(dòng)至點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合的過(guò)程中,線(xiàn)段MP掃過(guò)的面積為( )
A.π+B.πC.π+2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(xiàn)y=x2+mx+n與直線(xiàn)y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸與D,C兩點(diǎn),連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的解析式和tan∠BAC的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下:
(1)P為y軸右側(cè)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)設(shè)E為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接DE,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),沿線(xiàn)段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn),再沿線(xiàn)段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止,當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)(k1、b為常數(shù),k1≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(m,8)與點(diǎn)B(4,2).
①求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.
②根據(jù)圖象說(shuō)明,當(dāng)x為何值時(shí),.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】水壩的橫截面是梯形ABCD,現(xiàn)測(cè)得壩頂DC=4 m,坡面AD的坡度i為1:1,坡面BC的坡角β為60°,壩高3m,()求:
(1)壩底AB的長(zhǎng)(精確到0.1);
(2)水利部門(mén)為了加固水壩,在保持壩頂CD不變的情況下降低AD的坡度(如圖),使新坡面DE的坡度i為,原水壩底部正前方2.5m處有一千年古樹(shù),此加固工程對(duì)古樹(shù)是否有影響?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(8,0)和點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在折線(xiàn)AOB上,直線(xiàn)CP截△AOB,所得的三角形與△AOB相似,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3,截取該函數(shù)圖象在0≤x≤4間的部分記為圖象G,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,t)且平行于x軸的直線(xiàn)為l,將圖象G在直線(xiàn)l下方的部分沿直線(xiàn)l翻折,圖象G在直線(xiàn)上方的部分不變,得到一個(gè)新函數(shù)的圖象M,若函數(shù)M的最大值與最小值的差不大于5,則t的取值范圍是( 。
A.﹣1≤t≤0B.﹣1≤tC.D.t≤﹣1或t≥0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2的圖象如圖所示,點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A1、A、A、…、A在y軸的正半軸上,點(diǎn)B、B、B、…、B在二次函數(shù)y=x2位于第一象限的圖象上,若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都為等邊三角形,則△ABA的邊長(zhǎng)=____________.
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