【題目】已知∠AOB=60°,P為它的內(nèi)部一點(diǎn),M為射線OA上一點(diǎn),連接PM,以P為中心,將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段PN,并且點(diǎn)N恰好落在射線OB上.
(1)依題意補(bǔ)全圖1;
(2)證明:點(diǎn)P一定落在∠AOB的平分線上;
(3)連接OP,如果OP=2,判斷OM+ON的值是否變化,若發(fā)生變化,請(qǐng)求出值的變化范圍,若不變,請(qǐng)求出值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析;(3)OM+ON=6,值不變.
【解析】
(1)根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可;
(2)作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.證明△PEM≌△PFN(AAS),推出PE=PF,理由角平分線的判定定理即可解決問(wèn)題;
(3)理由全等三角形的性質(zhì)證明OE=OF,FN=EM,求出OE,OF即可解決問(wèn)題.
解:(1)圖形如圖所示:
(2)作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°,∠EOF=60°,
∴∠EPF=∠MPN=120°,
∴∠EPM=∠FPN,
∵PM=PN,∠PEM=∠PFN=90°,
∴△PEM≌△PFN(AAS),
∴PE=PF,
∵PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
∴OP平分∠AB,
∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.
(3)結(jié)論:OM+ON=6,值不變.
理由:∵∠PEO=∠PFO=90°,OP=OP,PE=PF,
∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),
∴OE=OF,
∵OP=,∠POE=∠POF=30°,
∴OE=OF=OPcos30°=3,
∵△PEM≌△PFN,
∴ME=FN,
∴OM+ON=OE﹣EM+OF+FN=2OE=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2021年我省開(kāi)始實(shí)施“ 3+1+2”高考新方案,其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)為統(tǒng)考科目( 必考), 物理和歷史兩個(gè)科目中任選 1門(mén),另外在思想政治、地理、化學(xué)、生物四門(mén)科目中任選 2門(mén),共計(jì)6門(mén)科目,總分750 分, 假設(shè)小麗在選擇科目時(shí)不考慮主觀性.
(1)小麗選到物理的概率為 ;
(2)請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”的方法分析小麗在思想政治、 地理、 化學(xué)、生物四門(mén)科目中任選 2門(mén)選到化學(xué)、生物的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊,BE,EG,FG為折痕,若頂點(diǎn)A,C,D都落在點(diǎn)O處,且點(diǎn)B,O,G在同一條直線上,同時(shí)點(diǎn)E,O,F在另一條直線上,則的值為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰為上一點(diǎn),以為斜邊作等腰,連接,若,則的長(zhǎng)為________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3,截取該函數(shù)圖象在0≤x≤4間的部分記為圖象G,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,t)且平行于x軸的直線為l,將圖象G在直線l下方的部分沿直線l翻折,圖象G在直線上方的部分不變,得到一個(gè)新函數(shù)的圖象M,若函數(shù)M的最大值與最小值的差不大于5,則t的取值范圍是( 。
A.﹣1≤t≤0B.﹣1≤tC.D.t≤﹣1或t≥0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于C,D兩點(diǎn),與x,y軸交于B,A兩點(diǎn),且tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OCD的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí),自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn),把一根長(zhǎng)40 cm的鐵絲剪成兩段,并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形.
(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58 cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?
(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2,你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,若O為BC邊的中點(diǎn),則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論,解決如下問(wèn)題:如圖,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng),則PF2+PG2的最小值為( 。
A. B. C. 34 D. 10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線與x軸交于點(diǎn)A,C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.點(diǎn)Q為線段BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C).
(1)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),點(diǎn)E為對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)且位于第一象限,當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí),求面積的最大值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)的面積最大時(shí),過(guò)點(diǎn)E作軸,垂足為N,將線段CN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)N,再將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度.得到點(diǎn)P,點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,請(qǐng)問(wèn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)H,使點(diǎn)D,P,G,H構(gòu)成菱形.若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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