Question

【題目】小明家的門框上裝有一把防盜門鎖（如圖1）．其平面結構圖如圖2所示，鎖身可以看成由兩條等弧AD，弧BC和矩形ABCD組成，弧BC的圓心是倒鎖按鈕點M．已知弧AD的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．當鎖柄PN繞著點N旋轉(zhuǎn)至NQ位置時，門鎖打開，此時直線PQ與弧BC所在的圓相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝2．

（1）弧BC所在圓的半徑為_____cm．

（2）線段AB的長度約為_____cm．（≈2.236，結果精確到0.1cm）

Answer 1

【答案】5 29.8

【解析】

（1）如圖，連接BM，設HM交BC于K，延長PQ交NM的延長線于點T，若直線PQ與弧BC所在的圓相切于J，連結MJ，在Rt△BMK中利用勾股定理進一步求解可；

（2）根據(jù)題意可進一步得出tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，從而得出NP的長，最后再利用tan∠TMJ＝tan∠NPT進一步求解，通過GN+MN+MK求出AB的長即可.

如圖，連接BM，設HM交BC于K，延長PQ交NM的延長線于點T，若直線PQ與弧BC所在的圓相切于J，連結MJ，

設BM＝r，在Rt△BMK中，則有r2＝42+（r﹣2）2，

解得r＝5，

∴BM＝5，即弧BC所在圓的半徑為5cm．

（2）∵DN∥PB，

∴∠DNE＝∠P，

∵NP＝NQ，

∴∠P＝∠NQP，

∴∠DNE＝∠NQP，

∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，

∵NE＝DG＝4，

∴DE＝NG＝8，

∴NP＝NE+EP＝4+11＝15，

∵直線PQ與弧BC所在的圓相切于J，

∴MJ⊥PQ，MJ＝5，

∴∠TMJ＝∠NPT，

∴tan∠TMJ＝tan∠NPT＝2，

∴，

∴NT＝15×2＝30，TJ＝5×2＝10，

∴MT=,

∴MN＝NT﹣MT＝30﹣5，

∴AB＝GN+MN+MK＝8+30﹣5+3＝41﹣5≈29.8cm

故答案為：（1）5，（2）29.8．