Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，過O作EF⊥AC，交AD于E，交BC于F，連接AF、CE．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB=3，BC=4，求菱形AECF的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12.5．

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件和矩形的性質(zhì)易證△AEO≌△CFO，進而可得四邊形AECF是平行四邊形，又因為EF⊥AC，所以可證明四邊形AECF是菱形

（2）設(shè)AE=CE=x，則DE=4﹣x，在直角三角形EDC中，利用勾股定理可求出x的值，進而可求出菱形的周長．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，∵EF⊥AC，∴∠AOE=∠COF=90°，在△AEO和△CFO中，∵∠OAE=∠OCF，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=4，AE=CE=x，則DE=4﹣x，在直角三角形EDC中由勾股定理可得：CE2=DE2+CD2，即a2=（4﹣a）2+32，解得：a=，∴菱形AECF的周長=4×=12.5．